Orthonormalbasis von V = { x aus R3 |x1 + x2 + x3 = 0}

Question

wie im Titel steht suche ich die ONB von V = { x ∈ R³ | x₁ + x₂ +x₃ = 0 }

Ich kann mir leider nicht vorsellen wie das aussehen sollte!

PS:   b)  Sei p: R³  → V die orthogonale Projektion. Bestimmen Sie p((1 2 3)^t)
                     Hilfe hierbei wäre auch ganz nett!

Danke

Answer 1

allgemein bestimmt man wegen dim(V) = 2 zwei linear unabhängige Vektoren aus V und benutzt dann das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsv….

Im ℝ³ geht es aber auch mit geometrisch nachvollziehbaren Uberlegungen:

V beschreibt im ℝ³ eine Ebene durch den Ursprung in Koordinatenform.

$\vec{n}$ = $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist ein Normalenvektor dieser Ebene, steht also senkrecht auf ihr.

$\vec{u}$ = $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$  steht senkrecht auf $\vec{n}$ [Skalarprodukt = 0], ist also ein Richtungsvektor der Ebene und damit ein Basisvektor von V

.$\vec{v}$ = $\vec{u}$ x $\vec{n}$ = $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ steht sowohl senkrecht auf $\vec{n}$

(ist also ein weiterer Basisvektor von V) als auch auf $\vec{u}$.

{ $\vec{u}$ ; $\vec{v}$ } ist also eine orthogonale Basis von V

Wenn diese Vektoren normiert, also durch ihre Beträge dividiert, hat man ein Orthonormalsystem von V:

{ 1/√2 • $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ; 1/√6 • $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ } 

Gruß Wolfgang