Zeige Sie lim (f(x) + g(x)) = a+b falls a= lim f(x) und b= lim g(x) in xo mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums:

Question

Sei \( x _ { 0 } \in \mathbb { R } \) und seien \( f , g : \mathbb { R } \backslash \left\{ x _ { 0 } \right\} \rightarrow \mathbb { C } \) Funktionen, für die die Limiten

$$a : = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$$

$$b : = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$$

existieren.

Zeigen Sie mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums, dass

$$\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } ( f ( x ) + g ( x ) ) = a + b$$

Answer 1

Wegen \(\lim f(x)=a\) und \(\lim g(x)=b\) existieren zu jedem \(\epsilon>0\) Zahlen
\(\delta_1>0\) mit \(|x-x_0|\lt \delta_1\Rightarrow |f(x)-a|\lt \epsilon/2\) und
\(\delta_2>0\) mit \(|x-x_0|\lt \delta_2\Rightarrow |g(x)-b|\lt \epsilon/2\) .
Sei \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\), dann folgt
\(|x-x_0|\lt \delta \Rightarrow |(f+g)(x)-(a+b)|=|f(x)-a+g(x)-b|\leq |f(x)-a|+|g(x)-b|\lt \epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon\)