Determinante bezüglich n×n

Question

Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich weiß wie man die determinante berechnet, aber was ölen die Punkte bedeuten? Wie soll ich bei sowas anfangen.?

Answer 1

die Punkte bedeuten, dass man die Matrix entsprechend auffuellt bis n x n.

Beispiel  \( n=5 \)

$$ \begin{pmatrix} 1-b & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1-b & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1-b & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1-b & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1-b \\\end{pmatrix} $$

Gruss

Comments

Ah okay kann ich dann schreibn sei n = 5 und dann die determinante wie gewohnt berechnen?  Ich hab auch gelesen dass das mit induktion machen kann aber so wirklich hilft es mir nicht weiter.

---

nee, dass kannst Du nicht. Ich habe Dir nur für \( n=5 \) die Matrix dargestellt, damit Du siehst was mit den Punkten gemeint ist. Du brauchst die Induktion, damit Du die Determinante für beliebige n entwickeln kannst.

Du kannst ja vielleicht die Determinante einmal für n=2 ausrechnen und im Vergleich dazu dann n=3. Vielleicht ergibt sich dann eine InduktionsVoraussetzung fuer n=n+1.

Ich hoffe nicht, dass Du am Ende den Laplaceschen Entwicklungssatz im allgemeinen dafuer benutzen musst, aber ich denke um von 2 x 2 auf n x n zu kommen, wirst Du in wohl zumindest in Teilen benutzen muessen.

Wenn ich das richtig sehe, sollte als Lösung so etwas wie \( (1-b)^n \) herauskommen.

Gruss

---

\( (1-b)^n \) ist falsch, aber so aehnlich koennte es werden.

---

Hab bislang folgende Formel für die Determinante der gegeben Matrix

\( \vert M_{n \times n} \vert = (-1)^n \cdot b^n + (-1)^{n-1} \cdot n \cdot b^{n-1} \)

Fuer \( n \in \{ 1;2;3 \} \) habe ich das nachgerechnet. ( Hoffentlich nicht verrechnet). Jetzt muesste man das noch per Induktion nachweisen.