f(x) = (x^3 - x^2 + 2·x - 2) / (x - 1) ; x ∈ ℝ \ {1}

Question

Bei der Funktion

f(x) = (x^3 - x^2 + 2·x - 2) / (x - 1) ; x ∈ ℝ \ {1}

handelt es sich jetzt um eine ganzrationale oder um eine gebrochen rationale Funktion.

Hintergrund ist eine Aufgabenstellung in einem Buch in der steht, zeigen sie, dass es sich bei f(x) um eine ganzrationale Funktion handelt.

Sicher ist dass man den Zähler faktorisieren kann

f(x) = (x - 1)·(x^2 + 2) / (x - 1) ; x ∈ ℝ \ {1}

man sieht jetzt auch das man die Funktion stetig ergänzen kann und dann eine ganzrationale Funktion entsteht.

g(x) = x^2 + 2

Ich könnte auch in dieser neuen Funktion einfach wieder die 1 aus dem Definitionsbereich nehmen.

g(x) = x^2 + 2 ; x ∈ ℝ \ {1}

Kann man daher sagen f(x) ist eine ganzrationale Funktion ? Oder ist es eher richtig zu sagen f(x) läßt sich zu einer ganzrationalen Funktion stetig ergänzen.

Answer 1

Gegen ist  die Funnktion: 

f(x) = (x - 1)·(x² + 2) / (x - 1) ; x ∈ ℝ \ {1} 

f(x) = x^2 + 2; x ∈ ℝ \ {1}   

ist nach Wikipediadefinition ganzrational in D, da eine Äquivalenzumformung zur 2. Zeile möglich ist.

(wobei auf der ganzen Wikiseite https://de.wikipedia.org/wiki/Ganzrationale_Funktion kein einziges Mal der Defitionsbereich von f thematisiert wird)

Die stetige Fortsetzung von f, 

f(x) = x^2 + 2 ist ebenfalls ganzrational. 

Das ist nichts anderes als, wenn du f folgendermassen "stückweise" definierst:

f(x) := (x - 1)·(x² + 2) / (x - 1) , x ∈ ℝ \ {1} 

f(x) := x^2 +2 , x = 1  , oder einfach f(1):=3.

Am schönsten mit einer grossen geschweiften Klammer. f(x):= { ....

Answer 2

zur Angabe einer Funktion gehört ja auch die Angabe des Definitionsbereichs, der durchaus ≠ D_max sein kann.

Ich meine, eine ganzrationale Funktion liegt vor, wenn sich der Funktionsterm - wenn nötig - über diesem Definitionbereich in ein gleichwertiges Polynom umformen lässt.

Wenn unter dieser Voraussetzung

f: ℝ \ {-1} → ℝ ; f(x) = (x - 1)·(x² + 2) / (x - 1) keine rationale Funktion ist, dann ist

f: ℝ \ {-1}  → ℝ : f(x) = x² + 1 (mit der einzig möglichen Begründung D≠ℝ) auch keine.

So weit würde ich nicht gehen. Aber "Namen sind Schall und Rauch". 

Gruß Wolfgang