a so bestimmen, dass dreieck rechtwinklig ist

Question

fa(x)=a*(ax+1)*e^-ax             a>0

a) Bestimmen Sie die Wendetangente. Die Wendetangente bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt.

Für fa´´(x) habe ich:

fa´´(x)=a³ * (ax-1)* e^-ax

Für die Wendetangente:

y=(-a²/e)*x+(3a/e)

Für die Fläche dann -9/2e

(Kann ja eig. nicht stimmen, dass die Fläche negativ ist :/)

g) Der Schnittpunkt von fa mit der x-Achse, der Wendepunkt und der Schnittpunkt der Wendetangenten mit der x-Achse bilden ein Dreieck. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist und, und bestimmen Sie a so, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

Ich habe insgesamt nur die obige Tangente.

Über ein paar Tipps würde ich mich freuen!

LG

Answer 1

Deine Fläche ist bis auf das negative Vorzeichen richtig. Vermutlich hast du einen Achsenabschnitt im negativen. Die sind jedoch beide im positiven Berecih.

g) Der Schnittpunkt von fa mit der x-Achse, der Wendepunkt und der Schnittpunkt der Wendetangenten mit der x-Achse bilden ein Dreieck. Zeigen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist und, und bestimmen Sie a so, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

Die Funktion hat die Nullstelle bei x = -1/a, die Wendetangente an der Stelle x = 3/a. Der Wendepunkt ist genau bei x = 1/a und damit genau in der Mitte. Damit handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

Der rechte Winkel könnte damit nur am Wendepunkt entstehen. Dazu sollte die Wendetangente dort die Steigung -1 haben.

- a^2/e = -1 --> a = √e

Ich habe das jetzt nicht skizziert. Das darfst du gerne machen und so meine Rechnung verifizieren.

Comments

Wieso muss die steigung für einen 90 gradwinkel -1 sein?

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Zeichne dir mal ein Gleichschenkliges Dreieck mit einer waagerechten Basis. Nun soll der Winkel an der Spitze 90 Grad sein. Skizziere auch das mal und jetzt überlege warum die Schenkel die Steigung 1 und -1 haben müssen.

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Und weil wir durch a>0 eine fallende Gerade haben, muss die Steigung -1 sein?

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Wenn ein gleichschenkliges dreieck einen 90 Gradwinkel an der Spitze hat. Wie groß sind denn die beiden anderen Winkel?

Wenn eine Gerade mit der x-Achse einen Winkel von 45 Grad bildet, welche Steigung hat dann die Gerade?

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1 oder -1?

Je nachdem ob sie steigt oder fällt

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Genau. Das hat ja erstmal nichts mit a zu tun. Weiterhin steht in der Steigung der Wendetangenten ein a^2 wäre also vom vorzeichen von a eh unabhängig.

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Ja. Ich war da wahrscheinlich gerade wieder viel sehr auf die Kurvendiskussion fokussiert und nicht auf eine Transferaufgabe. Aber ich konnte es jetzt nachvollziehen.