Winkel Berechnung zwischen raumdiagonalen /flächendiagonalen und Kanten

Question

Aufgabe:

Ein Quader besitzt die Kantenlängen a = 8,5 cm; b = 4,2 cm; c = 5,9 cm. Wie groß sind die Winkel zwischen

a) den Flächendiagonalen und den Kanten;

b) einer Raumdiagonalen und den Kanten;

c) einer Raumdiagonalen und den Flächendiagonalen;

d) zwei Raumdiagonalen?

Ansatz:
Also man muss doch erstmal die Längen der Diagonalen berechnen. Aber z. B. bei der d wird ein Teil der Länge "abgeschnitten". Wie bekomme ich dann die Länge des größeren Teils raus, um den Winkel zwischen der Kante und dieser Raumdiagonalen herauszufinden?

Comments

Leute! Meine berechneten Ergebnisse zu den Aufgaben lauten:
a.) 26,3° ; 54,3° ; 34,4°    
b.) 67,8° ; 57,9° ; 40°
c.) 22,2° ; 32,1° ; 50°
d.) 119° ; 82° ; 138° ; 102° ; 44° ; 64°


Stimmt das jetzt alles?

Wie man sieht, habe ich bei den letzten Aufgaben auf ganze Zahlen gerundet. Ich hoffe, dass das kein Problem ist...

Answer 1

Eine Beschreibung, was du tun sollst, ist sehr lästig, wenn die Eckpunkte der Figur und vor allem die gesuchten Winkel keine Namen haben!

Du musst bei allen Rechtecken Diagonalen einzeichnen und mit Pythagoras deren Längen berechnen. Dann kannst die die trigonometrischen Formeln anwenden.

Einige der vielen Winkel rechne ich dir vor:

a = 8,5 cm, b = 4,2 cm, c =5,9 cm

a)

α sei der Winkel zwischen a und f

tan(α) = b/a ≈ 0,4941 → α ≈ 26,3°

Der Winkel zwischen f und b beträgt 180°-90°-26,3° = 63,7°

Der Winkel zwischen f und c beträgt 90°

b)

f² = a² + b²  (Pythagoras)  →  f = √(a² + b² ) ≈ 9,45 cm

Der Winkel zwischen d und c  sei γ

tan(γ) = f/c ≈ 1,602 → γ ≈ 58°

c)

β sei der Winkel zwischen  f und d

tan(β) = c/f ≈ 0,6243 → β ≈ 32°

...

d) 

Hier musst du die zweite Raumdiagonale  und die Diagonalen s der seitlichen Rechtecke  einzeichnen und beide mit Pythagoras berechnen. Dann bilden die halben Raumdiagonalen mit s gleichschenklige Dreiecke.

Den Winkel im Quadermittelpunkt kannst du mit dem Kosinussatz oder - wenn du das betreffende Dreieck halbierst - mit den einfachen trigonometrischen Formeln berechnen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

bei a) einfach nur Pythagoras:

f^2 = a^2 + b^2  also  f^2 = 89,89   also  f=9,48

Winkel α zwischen f und a also   cos(α) =  a/f = 8,5 / 9,48 =0,8965

also alpha =26,3°

entsprechend die anderen.

Und bei d beachte: Die Raumdiagonalen sind gleichlang und

halbieren sich gegenseitig. 

Betrachte z.B. das Dreieck mit den Ecken

vordere linke untere Ecke

Raumdiagonalenschnittpunkt

hintere linke obere Ecke

das ist gleichschenklig mit Schenkellänge: halbe Raumdiagonale

und Basis ist die Diagonale der linken Seitenfläche.

Und in dieses gleichschenklige Dreieck kannst du dann die

Höhe hineindenken und bekommst rechtwinklige

Dreiecke in denen du mit Trigonometrie was

machen kannst.

Comments

Danke für deine Antwort! Also muss ich das Gleiche im Prinzip auch für die Flächendiagonale f und der Kantenlänge b machen, oder? Der Winkel nennt sich dabei immer noch alpha, stimmts?

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Ach ja, und eine kleine Frage hätte ich da noch bei der a.) z.B.: Wie viele Flächendiagonalen zwischen Kanten müssen es sein? Sind es 2?

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Es gibt drei verschieden große Flächen

(  oben/unten     redchts/links     vorne/ hinten  )

Für    oben/unten    hatte ich es vorgemacht.  Die anderen beiden

fehlen noch.

Wie du die Winkel nennst, ist total egal.

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Also oben/unten ist doch b und a.
rechts/links ist b und c
vorne/hinten ist a und c
Fehlt dann bei der Flächendiagonale bei oben/unten nicht der Winkel zwischen Kantenlänge b?

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"Betrachte z.B. das Dreieck mit den Ecken vordere linke untere Ecke Raumdiagonalenschnittpunkt hintere linke obere Ecke das ist gleichschenklig mit Schenkellänge: halbe Raumdiagonale und Basis ist die Diagonale der linken Seitenfläche." Ich verstehe deine Anweisung nicht so recht. Soll ich dir vielleicht eine Zeichnung von meinem Verständnis schicken?

Answer 3

Offenbar geht es nur um Aufgabenteil d. Dazu Folgendes: Die Raumdiagonalen halbieren sich gegenseitig und sind alle gleichlang. Wenn zwei Raumdiagonalen an der gleichen Quaderkante beginnen, ist der Winkel mit dieser Kante wichtig. Wenn zwei Raumdiagonalen an der gleichen Flächendiagonale beginnen, ist der Winkel mit dieser Digonale wichtig.Die 4 Raumdiagonalen bilden paarweise zueinander verschiedene Winkel.

Comments

Es handelt sich nicht nur um Aufgabenteil d.). Ich bräuchte Hilfe bei der ganzen Aufgabe. Sitze schon so lange an ihr....

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Wie würden denn die 4 Raumdiagonalen im Quader aussehen? Kann das mir irgendwie nicht vorstellen.

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Die eine ist ja eingezeichnet. Das d von

vorne links unten  nach hinten rechts oben.

Die bildet mit f und c ein rechtwi. Dreieck mit Hypotenuse d.

Also d^2 = f^2 + c^2

d^2 = 89.89 + 34,81  = 124,70

also d = 11,17

Damit ist z. B für den Winkel zwischen Raumdiagonale d

und unterer Flächendiagonale f (sagen wir ß )

cos(ß) =  f / d    (Ankathete / Hypotenuse )

also cos(ß) = 9,48 / 11,17 = 0,849

ß = 31,9°

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Ich danke dir vielmals! Und die restlichen 3 Raumdiagonalen verlaufen doch von vorne rechts unten bis hinten links oben, von vorne links oben bis hinten rechts unten und vorne rechts oben bis hinten links unten, oder?

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Genau so ist es.

Answer 4

Hier eine grobe Skizze zur Vorgehensweise:

zu a) Nenne die fehlenden Flächendiagonalen g und h.
Bestimme die Winkel in den Dreiecken abf, bcg und cah.

zu b) Die vier Raumdiagonalen sind alle gleich lang.
Bestimme den Winkel dc im Dreieck dcf,
den Winkel db im Dreieck dbh und
den Winkel da im Dreieck dag.

zu c) Bestimme den Winkel df im Dreieck dcf,
den Winkel dh im Dreieck dbh und
den Winkel dg im Dreieck dag.

zu d) Es soll offenbar nur ein solcher Winkel bestimmt werden.
Bestimme zum Beispiel im Dreieck (d/2)f(d/2) den Winkel (d/2)(d/2).

Für die Diagonale d gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d^2 = a^2 + b^2 + c^2.

Comments

Danke für deine Antwort!

Aber warum redest du bei der b.) von 4 Raumdiagonalen, wenn doch von 1er die Rede ist. Das habe ich nicht ganz verstanden.

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Nur um dich darauf hinzuweisen das es vier gleich lange Raumdiagonalen gibt. ist ja auch für die nachfolgenden Aufgaben nicht ganz unwichtig.

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Gleichlange Kanten und Diagonalen müssen nicht unterschieden werden, so dass nur Dreiecke berechnet werden, die nicht zueinander kongruent sind.

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Ich habe jetzt alles ausgererechnet, auch bei der d.), aber nur aus einem Dreieck? Soll man denn alle Möglichkeiten ausrechnen?

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Wenn es mehrere Möglichkeiten gibt uns diese unterschiedliche Ergebnisse liefern sind natürlich alle Möglichkeiten anzugeben.

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Leute! Meine berechneten Ergebnisse zu den Aufgaben lauten:
a.) 26,3° ; 54,3° ; 34,4°
b.) 67,8° ; 57,9° ; 40°
c.) 22,2° ; 32,1° ; 50°
d.) 119° ; 82° ; 138° ; 102° ; 44° ; 64°
Stimmt das jetzt alles? Wie man sieht, habe ich bei den letzten Aufgaben auf ganze Zahlen gerundet. Ich hoffe, dass das kein Problem ist...

Answer 5

Schon bei a) komme ich auf andere Ergebnisse. Checkst du das mal. Vielleicht hab ich mich auch verrechnet:

Fläche "ab"	26,3°	63,7°
Fläche "ac"	34,8°	55,2°
Fläche "bc"	54,6°	35,4°

Comments

55.2 ° bei ac habe ich auch heraus.

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Da meine Ergebnisse auch bei b) und c) abweichen, denke ich du hast eventuell Flächendiagonalen und Raumdiagonale vorher berechnet und sehr gerundet aufgeschrieben. So bekommst du in den Endergebnissen abweichende Werte.

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Ja, ich habe es schon erahnt. Wie sollte ich deiner Meinung nach eher runden? Ich habe bei den Diagonalen auf die erste Nachkommastelle gerundet.

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Und ich habe den restlichen Winkel nicht mit einbezogen, weil, wenn man den Wert mit 90° von 180° abziehen würde, man eh' darauf kommen würde.

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Ich gebe 4 signifikante / wesentliche Stellen an.

D.h. von links ist die erste Ziffer die ungleich 0 ist die erste wesentliche Ziffer. Ab dort gebe ich 4 Ziffern an und runde die 4. Ziffer mathematisch.

Die Werte oben wurden vorher nicht gerundet, weil ich einfach die Werte mit Excel berechnet habe und nur das Ergebnis gerundet ausgeben lasse.

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"Und ich habe den restlichen Winkel nicht mit einbezogen, weil, wenn man den Wert mit 90° von 180° abziehen würde, man eh' darauf kommen würde."

Das ist auch ok denke ich.

Weil es für Excel keine große Mehrarbeit ist alles auszurechnen habe ich einfach alles ausrechnen lassen.

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Kannst du mir vielleicht die Ergebnisse der anderen Aufgaben nennen? Damit ich sehen kann, was ich falsch gemacht habe. Wäre sehr nett und hilfreich.

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Wollte ich eigentlich nicht, weil mein Excel-Sheet vermutlich noch Fehler enthält. Aber dann kannst du die Ergebnisse mal checken:

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Vielen lieben Dank! Aber warum bist du der Meinung, dass das noch Fehler enthält?

Naja, aber unsere Ergebnisse unterscheiden sich jetzt nicht so stark. Ich glaube, das lag jetzt eher an meinem Aufrunden. Mein Mathelehrer hat eh' gesagt, dass er uns bei einer Arbeit darauf hinweisen wird, wie wir oder ob wir runden sollen.

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Weil man sich bei excel schnell mal vertut mit dem cut und paste und dann eventuell ein zellenbezug falsch ist oder überhaupt die formel falsch ist.