y ' − y = 0 analytische Lösung

Question

Ich will folgende DGL lösen: y'−y=0

mein ansatz:

y' = y (man sieht sofort y=c*e^x)

dy'/dx=y

dy'/y=dx

integral(dy'/y) = integral(dx)

in der lösung heißt es:

ln(y)=x+ln(C), wobei ich 1. nicht verstehe warum keine Konstante bei ln(y) ist und 2. warum es ln(C) anstatt C ist.

bitte um Erklärung

mfg Schumi

Answer 1

Hi,

da mache weiter:

integral(dy'/y) = integral(dx)

oder mathematisch geschrieben:

∫1/y dy = ∫ dx

ln(|y|) = x+c

y=e^{x+c}

y=e^{x}*e^c  |mit e^c=C

y=C*e^x


Alles klar?

Grüße

Comments

jap alles klar danke dir für die schnelle antwort!

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Gerne :)     .

Answer 2

Du kannst auch 

ln(y) = x + c

schreiben. Die Integrationskostante braucht man nur auf eine Seite schreiben. Ich könnte ja auch auf beide Seiten eine Schreiben und die dann auf einer Seite zusammenfassen.

Als nächstes nimmt du auf beiden Seiten die e-Funktion

e^{ln y} = e^{x + c}
y = e^x * e^c

e^c ist aber eine Konstande und kann auch wieder vereinfacht werden

y = e^x * C

Dann sind wir fertig.

Comments

Vorsicht. Potenzgesetze: e^{x+c}=e^x*e^c

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Du meinst da vermutlich: y = e^x * e^c

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Also wenn man 

ln(y) = x + ln(C)
e^{ln y} = e^{x + ln C}
y = e^{x} * e^{ln C}
y = e^{x} * C
y = C * e^{x}

schreibt, dann nur damit man das C nicht später noch vereinfachen muss.