Benutze Parsevalsche Identität um Wert der Reihe zu bestimmen

Question

Die Parsevalsche Identität besagt, dass für eine stetige Funktion

$$f:[-\pi,\pi] \rightarrow \mathbb{R}$$ gilt:

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} |c_k|^2=\frac{1}{2*\pi} \int_{-\pi}^ {\pi}|f(x)|^2dx$$ wobei:

$$c_k =\frac{1}{2*\pi}  \int_{-\pi}^ {\pi}f(x)e^{-ikx}dx$$

sei \(g:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}\) gegeben durch

$$g(x):= 1/2 -\sin(x/2)$$ für \(x\in[o,\pi]\)

Wir definieren nun \(f:[-\pi,\pi] \rightarrow\mathbb{R}\) durch die gerade Fortsetzung von g auf \([-\pi,\pi], d.h. wir setzen:

f(x)= g(x) für x\(\in [0,\pi]\)

    = g(-x) für x\(\in [-\pi,0]\)

Benutze die Parsevalsche Identität, um den numerischen Wert der Reihe

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4n^2-1)^2}$$

zu bestimmen

Answer 1

Hi,

(a)
für die Funktion \( f(x) = x \) sind die Fourier Koeffizienten \( a_n = 0 \) und \( b_n =\frac{2}{n}(-1)^{n+1} \)
Aus der Parsevalschen folgt $$ \frac{2}{3} \pi^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2) = 4 \cdot \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} $$
Also gilt
$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

(b)
Partialbruchzerlegung von \( \frac{1}{(4n^2-1)^2} \) ergibt
$$ \frac{1}{(4n^2-1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2} \right) $$
Damit ergibt sich
$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(4n^2-1)^2} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2} \right) $$

(c)
Es gilt
$$  \frac{1}{4}\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n-1} \right) = -\frac{1}{4} $$

(d)
Weiter gilt
$$  \frac{1}{4}\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2} \right)= \frac{1}{4} \left( 2 \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} -1 \right) = $$
$$ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} -\frac{1}{4} $$
und es gilt
$$ \frac{\pi^2}{6} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2} + \frac{\pi^2}{24} $$
Also gilt
$$ \frac{1}{4}\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2} \right)=\frac{\pi^2}{16}-\frac{1}{4}  $$

(e)
Insgesamt gilt also
$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(4n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{16}-\frac{1}{2} $$