Restklassenring, Bijektivität und Urbild der Funktion

Question

Zu zwei gegebenen ganzen Zahlen a,b ist  folgende Abbildung auf dem Restklassenrin ℤ_n gegeben:

ƒ: ℤ_n → ℤ_n , z ↦ az +b(mod n)

Wobei n∈ℕ mit n >= 2.

a) Zeigen Sie: Genau dann ist f bijektiv wenn a modulo n invertierbar ist.

b) Konkret seien nun n = 21 und a = 5, sowie b = 11. Bestimmen sie das Urbild zu 8.

Ich habe mit beiden Fragen große Probleme.

Generell weiß ich nicht was ich mit dem "b(mod n)" in der Funktion anfangen soll. "b mod n" wäre ja verständlich...Kann es sein das damit gemeint ist das Ergebnis der Gleichung (az+b) mod n zu rechnen um im Ring zu bleiben?

Zu a) In welchem Zusammenhang steht die invertierbarkeit von a modulo n zur Bijektivität?  a modulo n ist nicht invertierbar (grade mit der Umkehrfunktion unten rausgefunden). Zudem sagt Wikipedia das bijektive Funktionen invertierbar sind.

Reicht es dann hier zu zeigen das die Funktion ohne (mod n) bijektiv ist, daraus würde folgen das dass gesamte genau dann bijektiv ist wenn auch a mod n invertierbar ist.

Zu b)

 Als Umkehrfunktion habe ich : z = (y+n-b)/a

Diese Umkehrfunktion ist aber nur für die Zahlen bis 6 richtig.  Generell wüsste ich nicht wie man modulo "umkehrt" so das dass richtige Ergebnis rauskommt.

Für Lösungen und Hilfestellungen wäre ich euch sehr dankbar!

Comments

(b)  5z + 11 ≡ 8 mod 21  gilt für  z = 12.

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Bist du durch ausprobieren drauf gekommen?

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Ausprobieren oder Euklidischen Algorithmus anwenden.

Answer 1

  Auf einer endlichen Menge ist eine Injektion schon eine bijektion . Sei a invertierbar, also Element der Gruppe G ( n )



    a  z1  +  b  =  a  z2  +  b     |   -  b       (  1  )

   a  z1  =  a  z2   |  :  a      (  2  )

        z1  =  z2      (  3  )      wzbw



    Ist andererseits a nicht invertierbar,  so ist es Nullteiler; es existiert ein nicht triviales z mit


      a  z  =  0       (  4a  )



     f  (  z  )  =  f  (  0  )      (  4b  )




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