Na versuchen wir ' s mal. Die Hauptbedingung; die Länge L der Staumbämme muss minimal sein. Und zwar sei die Länge in dem rosaNEN bereich gleich L1 , die in dem blauen entsprechend L2 ( Bübchen und Mädchen; Geld wächst auf Bäumen. Kinder auch; bittu aufgeklärt? Muttu Aufgabe lösen. )
Woran erkennt man, ob jemand noch an das Schlaraffenland glaubt?
Antwort: Er glaubt, Kinder kommen, ohne dass er was tun muss . . .
L ( L1 ; L2 ) := L1 + L2 = min ( 1a )
Auf den beiden Transportbändern hast du zwei Zwangsbedingungen:
B1 ( L1 ; ß ) := L1 cos ( ß ) = d1 = const ( 1b )
B2 ( L2 ; ß ) := L2 sin ( ß ) = d2 = const ( 1c )
( 1a-c ) ist eine topp elegante Formulierung; das schreit doch förmlich nach Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino. Das Lagrangeverfahren beginnt immer mit der Frage: In welchen Variablen notiere ich die Textaufgabe? Das ist vergleichbar den Stilfragen beim Aufsatz. Also: Wie übersetze ich den Text in Formeln? Alle Funktionen sollten so einfach gehalten sein wie möglich; komplizierte Ableitungsregeln verdunkeln nur das Ergebnis. Im Übrigen bin ich dafür berüchtigt, dass etliche meiner Lösungen besser sind als die Standard Lösungsbücher. Sollte ich auf etwas stoßen bzw. ihr mir Verbesserungsvorschläge schicken, macht es mir gar nichts, diese Ausarbeitung zu zerknüllen.
Einer meiner Profs war ein cooler Ostpreuße; die Kandidaten im Vordiplom begrüßte er immer
" Ich habe Angst vor Ihnen; stellensich vor, Sie erzählen mir etwas, wovon ich noch nie gehört habe. Dann bin ich doch der blamierte . . . "
Dagegen erweist sich Lagrange als unglaublich robust gegen die Anzahl der Nebenbedingungen; keines Wegs muss jede neu auftretende Variable durch eine Nebenbedingung definiert sein im Sinne des " Auflösens "
Ich erfuhr völlig überraschend, dass heut zu Tage die Hausaufgabenhefte der Schüler benotet werden. Na da wäre Lagrange doch die Metode der Wahl, um Ordnung zu halten.
Im nächsten Schritt definieren wir die beiden ===> Lagrangeparameter ( LP ) ( - k1;2 ) für Bedingung ( 1bc ) ( das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. ) D.h. wir bilden die ===> Linearkombination
H ( L1 ; L2 ; ß ) := L ( L1 ; L2 ) - k1 B1 ( L1 ; ß ) - k2 B2 ( L2 ; ß ) ( 2a )
Notwendige Bedingung für Minimum: Der ===> Gradient von H verschwindet .
H_L1 = 1 - k1 cos ( ß ) ===> k1 = 1 / cos ( ß ) ( 2b )
Ganz entsprechend
k2 = 1 / sin ( ß ) ( 2c )
Es ist uns also gelungen, quasi in einem vorbereitenden Schritt die beiden LP anzugeben. wir werden sehen, dass die Ableitung nach ß auf das allgemeine Ergebnis führt.
H_ß = k1 L1 sin ( ß ) - k2 L2 cos ( ß ) = 0 ( 3a )
Jetzt die beiden LP einsetzen aus ( 2bc )
L2 / L1 = tg ² ( ß ) ( 3b )
Wie ihr wisst - wissen solltet - führt Lagrange stets auf ein allgemeines Gesetz ; Konstanten wie d1;2 werden ja nirgends eingesetzt. d.h. man sollte wenn irgend möglich alle Bedingungsgleichungen frei halten von ihnen .
Es ist angesagt die Phase der Nachbereitung; die offizielle Minimaxaufgabe ist mit ( 3b ) gelöst und beendet. Rein zufällig gestaltet sich die Nachbereitung in unserem Falle trivial; ich kenne einen Klassiker, wo das längst nicht so ist . Die linke Seite von ( 3b ) folgt nämlich auch aus ( 1bc ) zu
L2 / L1 = d2 / d1 ctg ( ß ) ===> d2 / d1 = tg ³ ( ß ) ( 3c )
( 3c ) gibt dir eine praktisch verwertbare Formel an die Hand, wo du nur noch Zahlen einsetzen musst. Die Länge der Stämme auszurechnen, ist wohl jetzt auch kein Akt mehr. Überdies scheint das Ergebnis zu stimmen; ich kenne eine verwandte Aufgabe, wo es darum geht, eine Weiter an die Land zu stellen.
