Zeigen Sie A = (A∩B)∪(A∩B^c)

Question

Es seien A, B, C und Ω Mengen

Zeigen Sie für A,B ⊆ Ω:

A = (A∩B)∪(A∩B^c)

Was ist dieses hochgestellte C?

Wie "zeige" ich das und was ist der Unterschied zwischen Zeigen und Beweisen?

Comments

Hoch c

bedeutet: Komplementärmenge. Also alle Elemente der Grundmenge, die nicht zu B gehören.

Answer 1

mit "zeigen" ist beweisen gemeint (demnach also kein Unterschied).

Falls ihr schon ein paar Rechenregeln für Mengenoperationen bewiesen habt würde ich sagen einfach mal bisschen umformen.

Notations-Anmerkung zu Lu's Kommentar: \( B^c = \Omega \setminus B  \)

Gruß

Answer 2

(A ∩ B) ∪ ( A ∩ B^c)   kann man nach einem der beiden allgemeinen Distributivgesetze für ∩,∪ wie (a+b) • (c+d) auflösen. dabei ist + ↔ ∩ , • ↔ ∪

(A∩B)∪(A∩B^c)  = (A∪A) ∩ (A∪B^c) ∩ (B∪A) ∩ (B∪B^c) = A ∩ [ A ∩ (B^c ∪B) ] ∩ Ω 

Zwischen lauter ∩ kann man nach dem allgemeinen Assoziativgesetz für ∩ die Klammern weglassen:

= A ∩ A ∩ Ω ∩ Ω = A 

Jede offensichtliche Umformung - hier meist durch Farbunterlegung gekennzeichnet - hat aber hier auch einen Namen. Wenn du die bei jedem Minischritt angeben musst, wird es lästig.

Du findest die Gesetze hier  [ ∧ ↔ ∩ , ∨ ↔ ∪ ]

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Logik

Gruß Wolfgang