Kleinsten Abstand zweier Funktionen berechnen

Question

f(x)=y=e^x

x=log(y)

Der ln ist ja die Umkehrfunktionen.

Wie kann man ausrechnen wo der Abstand zwischen den zwei Funktionen am geringsten ist? Graphisch kann man das ja ablesen, irgendwo zwischen 1 und 2 wahrscheinlich.

Wie geht das aber algebraisch?

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Abstand

Zitat:

"Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte."

Answer 1

Die Funktionen sind zueinander Spiegelsymmetrisch zur ersten Hauptdiagonalen. Der Abstand zur Hauptdiagonalen ist am kleinsten wo die Funktion die gleiche Steigung also die Steigung 1 hat.

~plot~exp(x);ln(x);x;1-x~plot~

Comments

>  Wie kann man ausrechnen wo der Abstand zwischen den zwei Funktionen am geringsten ist?    Graphisch kann man das ja ablesen, irgendwo zwischen 1 und 2 

Die Begründung der Antwort erscheint mir doch mehr für diesen Sonderfall der Anschauung entnommen als gerechnet.

Zum Beispiel haben x² und √x  ( Umkehrfunktion auf ℝ₀⁺ ) ihren kleinsten Abstand in ihren gemeinsamen Punkten auf der 1. Winkelhalbierenden. Ihre Steigung ist dort aber jeweils verschieden.

---

Betrachte die Denkweisen der analytischen Geometrie. Sonderfall sind sich schneidende Graphen. Dann wird der Abstand der Graphen Null. Ansonsten werden Abstände Senkrecht zum Graphen gemessen.

Nimm also z.B. die Funktionen

y1 = x^2 + 1

y2 = √(x - 1)

Wo haben die ihren kleinsten Abstand. Das ist dort wo die Steigungen gleich 1 sind. Das auszurechnen überlasse ich aber gerne dir. Exakt eingezeichnet ist es. Ich habe es also auch ausgerechnet.

~plot~x^2+1;sqrt(x-1);x;-(x-0.5)+1.25~plot~

Das lässt sich so mit allen Umkehrfunktionen machen.

---

Du hast mich im Prinzip überzeugt :-)

Aber.

>  Das ist dort wo die Steigungen gleich 1 sind    (Sind sie eben nirgends)

Ich bleibe dabei:  Das Wort "wo" ist unklar.

Answer 2

> Wie kann man ausrechnen wo der Abstand zwischen den zwei Funktionen am geringsten ist?

"Wo" klingt eigentlich mehr nach einer gesuchten Stelle x, (Aber deren aufwändige Berechnung und die Wahl der beiden Funktionen legen Mathecoachs Interpretation der nach meiner Meinung unklaren Frage nahe)

f(x) = e^x ,  g(x) = ln(x)

Abstand beider Funktionenan an  einer Stelle x:

 d(x) =  | e^x - ln(x) | = e^x - ln(x)   (wegen e^x > ln(x) für alle x.

d'(x) = e^x - 1/x = 0  mit  VZW von - → +  ergibt die Minimalstelle.

diese Gleichung kann wohl nicht explizit nach x auflösen:

Man benutzt  ein numerisches Näherungsverfahren, zum Beispiel das

Newtonverfahren:

die unten genannte Funktion f ist hier d'  (f ' = d'')

gesucht sind die Nullstellen von f(x) = e^x - 1/x:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte  verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

[ Rechnerlösung: x = 0,5671432904 ]

Gruß Wolfgang

Comments

 d(x) =  | e^x - ln(x) |

Dieses wäre nur der vertikalen Abstand der Funktionen an einer Stelle x. Der Abstand verläuft allerdings nicht notwendigerweise senkrecht im Koordinatensystem sondern senkrecht zu beiden Funktionen.

---

Die Frage ist wohl : was ist der Abstand zwischen 2 Funktionen ?

Ist es der  Unterschied der Funktionswerte an einer Stelle x ?
( Wolfgang )

Von der Alltagssprache betrachtet :

Sind 2 Uferverläufe eines Flusses gegeben ist : wo ist der Fluß am
schmalsten ? ( mathecoach )

---

Ich habe gerade einmal im Internet nachgeschaut.

In allen Erklärungen wird der senkrechte Abstand / Differenzfunktion
zwischen 2 Funktionen  berechnet.

Anders schaut es aber beim Abstand zwischen Funktion und
einem Punkt aus.

---

Was ist der Abstand der Funktionen

y1 = x und

y2 = x + 1

Achtung. Es ist nicht gefragt wie der Abstand der Funktionswerte an einer Stelle x ist.

Wenn nach dem Abstand gefragt ist darf hier also nicht nur eine Stelle betrachtet werden. Wenn in Aufgaben mit dem Abstand der Funktionswerte gerechnet wird wird dies auch so kommuniziert. Dann spricht man nicht vom Abstand der Funktionen.

---

Wenn nach dem Abstand gefragt ist ...

... sollte die Metrik auf dem entsprechenden Funktionenraum angegeben werden, bezüglich derer Abstandsberechnungen vorzunehmen sind.

---

Hallo mathecoach,
Zitat :
Die vermutlich häufigste Variante von Extremwertaufgaben ist der Unterschied
zwischen zwei Funktionen. Es geht hierbei um den senkrecht gemessenen
Abstand zwischen zwei Funktionen.

Dies ist die weitaus üblichste Annahme und die üblichste Fragestellung.

Die Aufgabe kann aber auch so wie du es annimmst verstanden werden.

Als Lösung einer Klassenarbeitsaufgabe  bekämen von mir sowohl Wolfgang als
auch du die volle Punktzahl.

Das Ganze ist mehr ein sprachliches Problem als ein mathematisches.

Wie groß ist im Ärmelkanal der geringste Abstand zwischen  England und
Frankreich ? muß mit deiner Lösung beantwortet werden.

---

Die vermutlich häufigste Variante von Extremwertaufgaben ist der Unterschied 
zwischen zwei Funktionen. Es geht hierbei um den senkrecht gemessenen 
Abstand zwischen zwei Funktionen. 

Dann wird das aber auch so gefragt !

Oder hast du ein Beispiel wo dort tatsächlich nur Abstand steht ?

Generell sind (lokale) Extrempunkte einer Funktion die Hoch und Tiefpunkte die Stellen wo der Abstand zur x-Achse in einem Intervall maximal oder minimal wird. Der Abstand zur x-Achse wird aber immer senkrecht zu ihr gemessen.

Ich erinnere mich an eine Aufgabe wo ein LKW durch einen Parabelförmigen Tunnel fährt. Dort war nach dem Abstand zwischen dem LKW und der Tunnelwand gefragt.

Und da ist natürlich weder der horizontale noch der vertikale Abstand gefragt.

Meine Skizze ist nicht die ursprüngliche aus der Aufgabe. Aber es sollte gut zu erkennen sein was gemeint ist. LE im Koordinatensystem sei 1 m

---

Nach nochmaliger Durchsicht der Beispiele im
Internet schlägt das Pendel insgesamt zu deinen Gunsten aus.

Das von Wolfgang angeführte " wo " in der Fragestellung  könnte
man allerdings auch auf eine x-Stelle und damit auf den vertikalen
Abstand beziehen.

So. Und nun ist Schluß mit der Frage.

mfg Georg

Answer 3

Hi,
ich denke der kleinste Abstand zweier Funktionen ist so definiert, das der Abstand zweier beliebigen Punkte, die jeweils auf den Funktionsgraphen liegen, minimal wird im Sinne der euklidischen Norm.
Also wenn das Funktional

$$ F(x_1,x_2) = \left\| \begin{pmatrix} x_1\\f(x_1) \end{pmatrix} -  \begin{pmatrix} x_2\\g(x_2) \end{pmatrix} \right\|_2^2 = (x_1-x_2)^2 + (f(x_1)-g(x_2))^2  $$

minimal wird.

Das führt zu folgenden Gleichungen
$$ (1) \quad 2(x_1-x_2)+2[f(x_1)-g(x_2)]\frac{d}{dx_1}f(x_1) = 0 $$ und
$$ (2) \quad -2(x_1-x_2)-2[f(x_1)-g(x_2)]\frac{d}{dx_1}f(x_2) = 0 $$
Das ist im allgemeinen ein nichtlineares Gleichungssystem für \( x_1 \) und \( x_2 \) welches nur numerisch gelöst werden kann. Im Beispiel ergibt sich als Lösung \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = 1 \). Daraus folgt dann, das der kürzeste Abstand zwischen den beiden Graphen \( d = \sqrt{2} \) beträgt und an den berechntete Punkten angenommen wird.

Comments

So müsste man es dann  bei zwei Funktionen ohne den "Umkehrfunktionszusammenhang"  machen.

Für f und f^-1 hat mich Mathecoachs Lösungsvorschlag inzwischen überzeugt.

.

---

Hi,

was ist das oben für Ansatz? Was bedeuten die zwei Striche links und rechts neben x1- x2 und f(x1)-f(x2) und das Quadrat dahinter?

Und wie kommst du ausgehend davon auf die zwei Gleichungen?

---

Hi,

die zwei Striche sind das Zeichen für eine Norm. Hier euklidische Norm. Wird in der Regel mit einer tief gestellten 2 gekennzeichnet. Ich habe das noch korrigiert. Und das Quadrat habe ich genommen, damit die Wurzel wegfällt, dann geht das mit den partiellen Ableitungen leichter.

https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm

Und die Gleichungen ergeben sich aus

$$ (1) \quad \frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2) = 0  $$ und

$$ (2) \quad \frac{\partial}{\partial x_2}F(x_1,x_2) = 0  $$

Das sind die notwendigen Bedingungen für das vorliegen eines Extremwertes für eine Funktion mit zwei Unbekannten. Wenn man es richtig machen will muss noch die Hesse Matrix

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

ausgerechnet werden und nach gewiesen werden, dass Sie positiv definit ist. Dann liegt ein Minimum vor. Das habe ich mir hier gespart.

---

Hier einmal meine Skizze

Es läuft also auf eine partielle Ableitung hinaus.
Die Wurzel kann weggelaasen werden, da nur die Extremwerte
gesucht werden.

Mein Matheprogramm kann allerdings für die vergleichsweise
simplen Funktionen der Fragestellung keine Lösung finden.

---

Ich nutze Mathcad bzw. Matlab und die haben kein Problem. Ich denke mit R sollte es auch gehen. Mit GeoGebra habe ich keine Erfahrungen.

---

Soweit kann ich das nachvollziehen. Aber warum ist bei der Gleichung 1 das Vorzeichen anders wie bei der Gleichung 1, also jeweils -2 und -2?

Und welche Ableitungsregel liegt hier zugrunde? Eine Verlinkung auf ein Video oder eine Seite genügt mir.

---

Hi,

Gleichung (1) stammt von $$ \frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2) = 0  $$ und Gleichung (2) von

$$ \frac{\partial}{\partial x_2}F(x_1,x_2) = 0  $$

Bei (1) muss man die Kettenregel für \( x_1 \) anwenden und das ergibt bem nachdifferenzieren eine \( +1 \) und bei der zweiten Gleichung wird nach \( x_2 \) differenziert und das ergibt die \( -1 \) beim nachdifferenzieren.

---

Alles klar. Und für was steht das (d/dx₁)*f(x₁) in der ersten Gleichung bzw. mit x2 in der zweiten Gleichung?

Sorry für die Fragen, aber ich hatte halt noch keine höhere Mathematik und kenne mich mit den abstrakten Darstellungsmethoden noch nicht aus.

---

Das ist die erste Ableitung nach den einzelnen Variablen.

---

Soweit kann ich das nachvollziehen.

Wie löse ich das Gleichungssystem? Du meintest numerisch, kann man das trotzdem selbst (per Hand) ausrechnen?

---

Im allgemeinen nicht und in diesem speziellen Fall ist es mir auch nicht gelungen, aber das hängt von den Funktionen ab.

---

Mit welchem Programm oder welcher Seite hast du das gelöst?

---

Probier das doch mal bei Wolframalpha. Der rechnet ja eigentlich ziemlich viel von dem was möglich ist.

Aber wie gesagt für einfache Fälle kann man sich das Vereinfachen.

Ich hätte eventuell sogar noch einen anderen Ansatz genommen. Man könnte zwei Punkte des Graphen suchen an denen die Steigungen übereinstimmt. Ist die Verbindungslinie gleichzeitig die Normale dann würde ich denken der Abstand wird minimal.

Aber mit schwierigen Funktionen habe ich das auch nie berechnet. Das Problem hat man auch eigentlich nicht bis zur Oberstufe.

---

Ich benutze Mathcad und Matlab, je nach Aufgabenstellung. Ist sicher besser als Wolfram, wenn man es als eine Investion in Zukunft betrachtet und nicht nur für das Lösen einer Aufgabe im Studium oder Schule.