Induktion von Binomialkoeffizienten

Question

ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe. Und zwar komme ich nicht drauf wie ich den Induktionsschritt korrekt aufführe

Wenn ich für n = 2 einsetzte stimmt die Behauptung ja noch, aber wenn ich es beispielsweise hoch iteriere passt es irgendwie nicht mehr...ist die Aufgabe nicht zu lösen oder stelle ich mich einfach nur blöd an?

Vielen dank für eure Hilfe

Comments

Kann sein, dass dir https://www.mathelounge.de/309779/vollstande-induktion-summe-von-binomialkoeffizienten

weiterhilft (?)

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In der Tat ist dieser Induktionsbeweis ist ein Spezialfall von:

https://www.mathelounge.de/309779/vollstande-induktion-summe-von-binomialkoeffizienten

Jedoch wird dieser alte Thread nicht viel weiter helfen, weil der dort gezeigte Induktionsbeweis nicht korrekt ist.

Answer 1

Du musst einerseits zu beiden Seiten den nächsten Summanden (n+1 über2) addieren und andererseits im Term rechts n duch n+1 ersetzen. Es ist zu zeigen (n+1) über 3 + (n+1) über 2 = (n+1+1) über 3.

Answer 2

 \( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) = \(\frac{n!}{k!·(n-k)!}\) 

Induktionsschluss:

\(\sum\limits_{k=1}^{n+1} \)  \( \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix}\)

 =  \(\sum\limits_{k=1}^{n} \) \( \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} n+1 \\ 2\end{pmatrix}\) =_IV \( \begin{pmatrix} n+1 \\ 3 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} n+1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

=  \(\frac{(n+1)!}{3!·(n-2)!}\) + \(\frac{n+1)!}{2!·(n-1)!}\) = \(\frac{(n+1)!·(n-1)+3·(n+1)!}{3!·(n-1)!}\)  = \(\frac{(n+1)!·(n-1+3)}{3!·(n-1)!}\) 

= \(\frac{(n+1)!·(n+2)}{3!·(n-1)!}\) = \(\frac{(n+2)!}{3!·(n-1)!}\)

 =  \( \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Gruß Wolfgang