Zeigen Sie, dass durch ||.|| eine Norm auf C[0; 1] gegeben wird

Question

kann mir einer bitte bei der Aufgabe  helfen ?

Ich wäre über jede Antwort, sehr froh.

4. Auf dem Vektoraum \( C[0,1] \) der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \) R erklären wir
$$ \|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| d x \quad \text { und } \quad\|f\|_{\infty}:=\sup _{0 \leq x \leq 1}|f(x)| $$
(a) \( (3 \mathrm{P}) \) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.

(b) \( (3 P) \) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{\infty} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.

(c) \( (2 \mathrm{P}) \) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( p_{n}(x):=x^{n} . \) Bestimmen Sie \( \left\|p_{n}\right\|_{1} \) und \( \left\|p_{n}\right\|_{\infty} \) für alle
$$ n \in \mathbb{N}_{0} $$

(d) \( (2 P) \) Zeigen Sie, dass die Normen \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) nicht äquivalent sind.

 

Comments

Weow wohl auch jemand analysis 2 bei Braun :D sehr praktisch

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$$ { ||f|| }_{ 1 }:=\int _{ 0 }^{ 1 }{ |f(x)|dx }\quad und\quad { ||f|| }_{ \infty  }:=\underset { 0\le x\le 1 }{ sup } |f(x)|. $$

1) Zeigen Sie, dass durch \({||·||}_{1}\) eine Norm auf \(C[0,1]\) gegeben wird.

2) Zeigen Sie, dass durch \({||·||}_{∞}\) eine Norm auf \(C[0,1]\) gegeben wird.

3) Für \(n∈{ℕ}_{0}\) sei \({p}_{n}(x) := {x}^{n}\). Bestimmen Sie \({||{p}_{n}||}_{1}\) und \({||{p}_{n}||}_{∞}\) für alle  \(n∈{ℕ}_{0}\).
4) Zeigen Sie, dass die Normen \({||·||}_{1}\) und \({||·||}_{∞}\) nicht äquivalent sind.

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(a) und (b) sind mechanische Nachweise. Dabei orientierst du dich am besten an den Definitionen von Norm (da stehen die zu erfüllenden Eigenschaften drin), Supremum und Betrag.

(c) ist "Nachrechnen" am besten mal für paar \(n\) durchgehen falls die Lösung nicht offensichtlich erscheint.

(d) kannst du dann bspw. mit (c) und der Definition von äquivalenten Normen zeigen.

Bei konkreten Fragen ist die Wahrscheinlichkeit für eine vernünftige Antwort/Rückmeldung höher.

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ich habe auch Probleme mit dieser Übung

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Konkretisiere deine Probleme.

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Mir ist leider nicht so ganz klar, wie man die Norm Axiome bei Integralen beweist. Finde leider auch in Büchern oder online kein Beispiel wo das vorgezeigt wird.

Answer 1

Lies am besten dein Skript durch, da sollten 4 Bedingungen für normierte Räume stehen.

Übrigens keine Garantie, dass das hier richtig ist! :D

1. Das Integral von einer im positiven Bereich laufenden Funktion (|f(x)|) ist auch positiv.

2. Bei dem Zweiten kannst Du Dir so denken: Wenn |f(x)| ungleich 0 ist und das Integral davon berechnet wird, kommt ja etwas Positives heraus (in a bewiesen).
Wenn |f(x)| = 0 ist, dann ist die Stammfunktion 0x + c = 0 + c, und bei Integralen geht man immer von c = 0 aus.

3. c*integral[0,1] |f(x)| dx = integral[0,1] c*|f(x)| dx

4. integral[0,1] |f(x)+g(x)| dx <= integral[0,1] |f(x)| dx + integral[0,1] |g(x)| dx. Überlege Dir, was wäre, wenn eine der Funktionen f(x) oder g(x) negativ ist. Dann würde |f(x) + g(x)| kleiner sein als |f(x)| + |g(x)|.

Nochmal keine Garantie für Richtigkeit! xD

Comments

Es sollte "3. integral[0,1] |c*f(x)| dx = integral[0,1] |c|*|f(x)| dx = c*integral[0,1} |f(x)| dx" lauten :'D Aber immer noch keine Garantie für Richtigkeit!

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trotzdem danke sehr, für deine Antworten.