Welche der folgenden Teilmengen von R sind offen, welche sind abgeschlossen?

Question

Hallo :)

ich brauche hier bei dieser Aufgabe Hilfe.

Comments

Hat vielleicht jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe? Ich sitze auch gerade dran :-(

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(a) funktioniert z.B. direkt mit der Definition von Offenheit.

Weißt du etwas über Urbilder offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen? Damit würde ich (b) lösen.

Was hast du schon probiert und wo kommst du nicht weiter?

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Ich habe bei der a) bisher folgendes: A ist nicht offen, weil zum Beispiel -2 und 2 auf dem Rand liegen. B ist offen, und C ist nicht offen, da 0 auf dem Rand liegt, kann das so sein?

zu Aufgabenteil b) habe ich noch nichts, Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sagt mir auch leider nichts..

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a) stimmt soweit. Und wie ist es mit der Abgeschlossenheit?

Am besten skizzierst du dir dann mal die Mengen in b).

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ich würde sagen A ist abgeschlossen, weil das Komplement offen ist. B ist nicht abgeschlossen, bei C bin ich mir nicht sicher, ich würde eher zu abgeschlossen tendieren..

ich habe die Mengen aus b) skizziert, ist es richtig dass D offen und nicht abgeschlossen ist, und E abgeschlossen ist und nicht offen?

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\(\mathbb R\setminus A=(-\infty, -2)\cup \{0\}\cup (2,\infty)\) ist also offen? Kannst du um die 0 eine kleine Umgebung legen, die vollständig in \(\mathbb R\setminus A\) enthalten ist?

\(C\) ist abgeschlossen, richtig.

Der Rest ist auch richtig.

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okay super, dann stimmt das meiste wenigsens schon mal. Ich habe bei dem Komplement von A die 0 nicht berücksichtigt, so wie du es aufgeschrieben hast, ist es natürlich nicht offen. Also ist A weder offen, noch abgeschlossen, richtig?

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Auch das ist richtig. :-)

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Super, vielen Dank für deine Hilfe! :-)

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Ist die C nicht weder offen noch abgeschlossen?

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C sollte abgeschlossen sein.
Wie kommst du zu dieser Annahme?

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C weder offen ( e keine Umgeb. von e enthält nur El. von C)

nocht abg. ; denn Jede Umgeb. von 0 enthält ein El. von C.

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Was verstehst du denn unter abgeschlossen?

Abgeschlossen bedeutet, dass das Komplement offen ist.

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Warum ist den die D offen? y kann hier ja nur Werte zwischen -2 und 2 annehmen und da x!=-y ist, sollten doch der Quadrant unten rechts und der oben links wegfallen. Somit könnte man ja keine beliebig kleine Kugel um 0 bilden die noch ganz in D liegt.

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Wieso sollten zwei ganze Quadranten wegfallen? Es wird nur die Gerade \(y=-x\) herausgeschnitten (also die Winkelhalbierende des zweiten und vierten Quadranten).

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Habe ich jetzt auch gemerkt. Dann ist ja auch klar, dass es offen und nicht abgeschlossen ist. Trotzdem danke für die Antwort!