Wie löse ich diese Differentialgleichung? y' * sin(x) - y * cos(x) = 0

Question

Kann mir jemand bei dieser Differentialgleichung helfen bitte?

y' * sin(x) - y * cos(x) = 0

Comments

Das ist doch eine separierbare DG (?)

y' * sin(x) = y * cos(x) 

dy/dx * sin(x) = y * cos(x)

1 / y dy  = (cos(x)/sin(x)) dx

usw.

Answer 1

Lösung durch Trennung der Variablen.

Comments

@GL

Deine Rechnung ist am Schluss nicht korrekt (Physiker-like ? :-)) :

Deine  Konstante c₁ = e^c   nimmt nur Werte aus ℝ⁺  an

Wenn man  ln(|y|) = ....   korrekt mit  y = ± e^.... auflöst

erhält man c ∈ ℝ \ {0}  und weil man vorher durch y dividiert hat , muss man y = 0 (c=0) sowieso noch überprüfen → c ∈ ℝ

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Diese Lösung ist völlig richtig. Ja und ich habe u.a. E-Technik studiert und NIE bei sowas Punktabzug bekommen
:-)

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gern doch

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Wenn du mit "diese Lösung"  deine Lösung meinst, dann ist sie keineswegs "völlig richtig"!

Oder wie kannst du erklären, dass nach deiner Lösung nur positive Konstanten  c∈ℝ⁺ zulässig wären, was nicht den Tatsachen entspricht.  Ich halte es für ziemlich inkompetent, wenn du das - trotz meiner exakten Begründung - nicht einfach einräumst!

> Ja und ich habe u.a. E-Technik studiert und NIE bei sowas Punktabzug bekommen.

Über solche "kleinen"  Fehler sieht man in diesen Wissenschaften oft einfach hinweg. Das macht die Sache aber keineswwegs richtig.

Um es klar zu sagen: deine Lösung ist falsch! 

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Wolfgang: Du meinst Lösung (oder Lösungsweg)?

Probe:

y = c*sin(x)

y' = c*cos(x)

Einsetzen in y' * sin(x) - y * cos(x) = 0

c*cos(x) *sin(x) - c*sin(x)*cos(x) = 0   unabhängig vom Vorzeichen von c. 

(Fallunterscheidung im Lösungsweg nun mal weggelassen)

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"DANKE" Wolfgang
Wie ist denn die Lösung "Deiner" Meinung nach richtig?
Ich finde es nicht schön , das Du mich als "INKOMPETENT" darstellst .
Ich finde das wirklich nicht toll , ich habe sowas über keinen hier bisher gesagt......
Eine andere Wortwahl wäre sicher auch möglich gewesen.
Wer bist Du denn eigentlich? Bist Du ein Lehrer?

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@Lu: Im Prinzip meine ich natürlich den Lösungsweg :-)

Aber in den beiden letzten Zeilen ergibt sich bei GL y = c₁ • sin(x) mit c₁ ∈ ℝ⁺ .als allgemeine Lösung der DGL.

Damit ist das Lösungsverfahren nicht korrekt und könnte - wenn es hier auch nicht der Fall ist - theoretisch auch weitere Lösungen unterschlagen oder fälschlich hinzufügen.

Was mich ärgert, ist eigentlich nur, das ein einfaches "Du hast recht" genügt hätte.

@GL:

Du bist auf klare Argumente nicht eingegangen sondern hast sie einfach abgetan mit

> Diese Lösung ist völlig richtig. Ja und ich habe u.a. E-Technik studiert und NIE bei sowas Punktabzug > > > >   bekommen 

Damit hast du mich behandelt, wie andere Schuljungen behandeln! 

Dich persönlich habe ich keineswegs als "inkompetent" bezeichnet. Gerade weil ich dich für kompetent halte, bin ich sicher, dass du meinen Fehlerhinweis einsiehst, ihn aber einfach nicht einräumst. Und das ist für mich inkompetentes Verhalten. Das Wort bezieht sich nicht auf deinen Lösungsweg und schon gar nicht auf deine Person!

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ln|y| = ln |sin(x)|  + C

|y| = e^{ ln|sin(x)| + C} = e^{ln ( | sin(x) |)} * e^C = |sin(x)| * e^C

y = ± sin(x) * e^C

y = D * sin(x)

Plus berücksichtigen, das y=0 sein kann.

Dass bei der Trennung der Variabeln sonst noch eine Lösung verloren gehen könnte, wäre mir neu.

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@Lu:

Du hast einfach nur das richtig gemacht, was GL nicht richtig gemacht hat (und sehr viele andere auch nicht richtig machen).

Du gibst mir in der Sache damit eigentlich einfach nur recht :-)