Sattel und Wendepunkte bestimmen

Question

Ich verstehe nicht wenn man bei der 2 Ableitung Werte für x rechnet diese dann in die 3 Ableitung eingeben muss und falls diese ungleich null sind ist ein Wendepunkt bzw. Sattelpunkt vorhanden und dann in die 1. Ableitung um herauszufinden ob Wendepunkt oder Sattelpunkt ist. Wenn man Werte für x aus der 2. Ableitung hat gibt es doch wende oder Sattelpunkte warum muss man diese Werte extra noch in die 3. Ableitung einsetzen?

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Die Reihe ist folgendermaßen

Nullpunkt ( Schnittpunkt mit der x-Achse )
f ( x ) = 0

Stellen mit waagerechter Tangente ( die Steigung ist 0 )
f ´ ( x  ) = 0
Dies kann ein Extrempunkt sein oder ein Sattelpunkt

Extrempunkt
Die Monotonie wechselt von
- steigend nach fallend : Hochpunkt
- fallend nach steigend : Tiefpunkt

Sattelpunkt
Die Monotonie bleibt gleich
- fallend - 0 - fallend
- steigend - 0 - steigend

Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 0
Die Krümmung ist 0.
Im Wendepunkt ist die Kurve " gerade " oder " ungekrümmt "
Die Steigung f ´( x )  ist beliebig.

Ist die Steigung null ist es ein Sattelpunkt.
Jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt.

Soviel zunächst.

Noch eine Quizfrage
Welche Stellen gibt es bei blau ?
Welche Stellen gibt es bei rot ?

~plot~ sin(x) ; x^3  ~plot~

Answer 1

Über die 2. Ableitung bekommst du mögliche Stellen für Wendepunkte. Ob Es dann Wendepunkte oder Flachpunkte sind bekommt man über die 3. Ableitung oder über das Vorzeichenwechselkriterium. Ich bevorzuge letzteres bei Polynomen.

Comments

Mit Flachpunkte meinst du bestimmt Sattelpunlte oder? Bekommt man diese nicht in der 1. Ableitung raus? Also wenn die eingesetzten x-werte in der 1. Ableitung 0 ergibt dann ist es ein Sattelpunkt wenn nicht ein Wendepunkt. Durch die 3. Ableitung findet man nur heraus, ob es überhaupt ein wende bzw. Sattelpunkt an dieser stelle vorhanden ist oder?

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Nein ich meine Flachpunkte.

Was hat z.B. x^6 an der Stelle 0 und wie zeige ich genau was die Funktion dort hat?

Answer 2

Hey die x-Werte der 2. Ableitung setzt man nochmal in die dritte ein, um mögliche Sattel- bzw. Wendepunkte zu bestätigen. Kommt 0 raus. Gibt es dann eben den entsprechenden Wende oder Sattelpunkt nicht. Übrigens kann man durch Einsetzen in die dritte Ableitung die Krümmung eines Wendepunkts bestimmen. Gibt es einen Sattelpunkt muss man diesen zusätzlich in die erste einsetzen und es muss dabei 0 herauskommen, da eben die Steigung im Sattelpunkt 0 ist.

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