Wie groß ist die Fläche des größeren Dreiecks?

Question

Das kleinere Dreieck hat eine Fläche von 240 Quadrat-Zentimeter. Das größere Dreieck ist ähnlich zum kleinen Dreieck und hat Seiten, die ein Drittel größer sind als die des kleinen Dreiecks.

Wie groß ist die Fläche des größeren Dreiecks?

Answer 1

"Ähnlich" bedeutet, dass alle Seiten mit dem gleichen Faktor skaliert sind.

 

Hat das Dreieck davor also die Seiten a, b und c, dann hat es jetzt die Seiten

a+a/3 = 4a/3

b+b/3 = 4b/3

c+c/3 = 4c/3

Ein Beispiel dafür ist das folgende Bild:

Die beiden Dreiecke ABC und AED sind ähnlich, AED ist um den Faktor 4/3 größer als ABC.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist nun 1/2*gh, wobei g die Länge einer Grundseite und h die Länge der darauf stehenden Höhe ist.

Ich zeichne das einmal ein:

Für den Flächeninhalt f des kleinen Dreiecks gilt also:
f = 1/2 * |CB| * |FA|

Für den Flächeninhalt F des großen Dreiecks:

F = 1/2 * |ED| * |GA|

Wir wissen bereits, dass |ED| = 4/3*|CB| ist, denn die Seiten des Dreiecks wurden alle um ein Drittel vergrößert.

Wie sieht aber das Verhältnis von |FA| und |GA| aus?
Nach dem Strahlensatz gilt

|AD|/|AC| = |GA|/|FA|

Das Verhältnis links ist aber bekannt, denn |AD| = 4/3* |AC| also |AD|/|AC| = 4/3

Also gilt auch:

4/3 = |GA|/|FA|   |*|FA|

|GA| = 4/3 |FA|

Setzt man alles das, in die Formel für F ein, so folgt:

F = 1/2 * |ED| * |GA|

F = 1/2 * 4/3*|CB| * 4/3 * |FA|

F = 16/9 * (1/2 * |CB|*|FA|)

F = 16/9 * f

Setzt man nun f=240 ein, so erhält man:
F = 16/9 * 240 = 1280/3 ≈ 426.67

 

Das große Dreieck ist also rund 426.67 cm² groß.