Beweis Vektorraum mit Addition und Multiplikation

Question

habe folgendes Problem mit dem (wahrscheinlich sehr simplen) Beweis (mein erster; ich hoffe auf nachsicht):

Sei V die Menge der positiven ℝ und sei x⊕y :=xy ;x,y>0 und a⊗x :=x^a für a∈ℝ

ZZ: Mit ⊕ der Vektoraddition und ⊗ als Skalarmultiplikation bildet V einen Vektorraum über ℝ.

Ich verstehe nicht, wie man an dieses Problem ran gehen kann, zumal die Addition erst als Multiplikation definiert wird und man dann mit der Vektoraddition etwas zeigen soll.

Kann mir vielleicht irgendeiner helfen?

Answer 1

Sei V die Menge der positiven ℝ und sei x⊕y :=xy ;x,y>0 und a⊗x :=x^a für a∈ℝ

ZZ: Mit ⊕ der Vektoraddition und ⊗ als Skalarmultiplikation bildet V einen Vektorraum über ℝ.

Ich verstehe nicht, wie man an dieses Problem ran gehen kann, zumal die Addition erst als Multiplikation definiert wird und man dann mit der Vektoraddition etwas zeigen soll.

Du gehst einfach alle Vektorraumaxiome durch:

1. (V,⊕)  ist eine kommutative Gruppe, das stimmt, weil IR⁺ mit der Multiplikation

(denn das ist ja in diesem Fall ⊕ ) eine komm. Gruppe bildet.

2. Distributivgesetze:

 etwa      a⊗ ( x⊕y) = a⊗  x     ⊕    a⊗ y   rechnest du einfach nach :

a⊗ ( x⊕y)  =   a⊗ ( xy) = (xy)^a  =  (Potenzgesetze!) = x^a · y^a =  a⊗  x     ⊕    a⊗ y  q.e.d.

etc.

Comments

und also erschien licht am ende des tunnels, danke schön