Linearität von Funktionen prüfen und ggf. Abbildungsmatrizen angeben.

Question

 Bitte brauche schnell Hilfe

Bitte ich brauche diese Aufgabe bis morgen, ich weiß nicht genau wie man das macht und auch nicht wie man das aufschreiben soll

Comments

Hallo könnte ich etwas Hilfe bei dieser Aufgabe bekommen, ich verstehe nicht ganz was man hier machen muss und wie man das Ergebnis Ordnungsgemäß aufschreibt.

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du musst in jedem Fall prüfen, ob  für alle  α∈ℝ und u,v ∈ D_f gilt:

1)   f(α • v ) = α • f(v)       2)  f(u + v) = f(u) + f(v)

Answer 1

zu zeigen:  für alle  α∈ℝ und u,v ∈ D_f gilt

1)   f(α • v ) = α • f(v)       2)  f(u + v) = f(u) + f(v)

a) ist nicht linear, weil schon Bedingung 1) nicht erfüllt ist

b)

f₂(x) = \( \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ -4x_2 \end{pmatrix}\)

→  Abbildungsmatrix:

 f₂(x) = \(\begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&-4\end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ -4x_2 \end{pmatrix}\)

f₂(α • v)  = \( \begin{pmatrix} α·v_1 \\ α·v_2 \end{pmatrix}\) =  \( \begin{pmatrix} α·v_1 - α·v_2 \\ -4α·v_2 \end{pmatrix}\) = α • \( \begin{pmatrix} v_1-v_2 \\ -4v_2 \end{pmatrix}\) = α • f₂(v)

f₂(u + v) = f₂( \( \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \end{pmatrix}\)) = \( \begin{pmatrix} u_1+v_1-u_2-v_2 \\ -4·(u_2+v_2) \end{pmatrix}\) 

= \( \begin{pmatrix} u_1-u_2 \\ -4u_2 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} v_1-v_2 \\ -4v_2 \end{pmatrix}\) = f₂(u) + f₂(v)

c) analog

Gruß Wolfgang

 

Comments

Müsste die Abbildungsmatrix nicht

	2x1-x2
	-4x2

_{sein ? (Wegen der 2 vor dem Basisvektor)}

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du must hinten wieder einmal x₁ abziehen

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Stimmt , hatte grade einen Denkfehler . Danke für die schnelle Antwort.

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kein Problem (wenn man gerade "anwesend" ist :-)