Polynomfunktion mit der Form ax^4 + bx^2 +c. y = 1/4 x^4 - 2x^2 + 2 zeigen.

Question

Wie löse ich folgendes Beispiel?

Answer 1

Du darfst wohl von der angegebenen Funktion ausgehen und dann die verlangten Eigenschaften überprüfen.

Comments

kenn mich nicht aus?!

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 y = 1/4 x^4 - 2x^2 + 2 

P(4| ? )

 y = 1/4 * 4^4 - 2*4^2 + 2 

= 4^3 - 32 + 2

= 64-30 = 34

P(4|34) liegt auf dem Graphen.

Q(2|?)

 y = 1/4 *2^4 - 2*2^2 + 2 

= 4 - 8 + 2 = -2

Q(2|-2) liegt auf dem Graphen.

 y = 1/4 x^4 - 2x^2 + 2 

y ' = x^3 - 4x

x= -2 einsetzen

y ' = 2^3 - 4*2 = 8-8 = 0.

y ' = x^3 - 4x 

y '' = 3x^2 - 4 , x= -2 einsetzen

y '' = 3*2^2 - 4 ≠  0

==> Q(2|-2) ist ein Extrempunkt.

q.e.d.

Anmerkung. Damit ist gezeigt, dass die angegebene Funktion die verlangten Eigenschaften hat.

Answer 2

\(f(x)=\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }-2{ x }^{ 2 }+2\)

1. Der Punkt (4/34) liegt auf dem Funktionsgraphen, d.h. zu zeigen ist: f(4) = 34

Berechne f(x=4) : \(f(4)=\frac { 1 }{ 4 } { 4 }^{ 4 }-2*{ 4 }^{ 2 }+2=64-32+2=34\)

2. Der Punkt (2/-2) liegt auf dem Funktionsgraphen, d.h. zu zeigen ist: f(2) = -2

Berechne f(x=2) : \(f(2)=\frac { 1 }{ 4 } { 2 }^{ 4 }-2*{ 2 }^{ 2 }+2=4-8+2=-2\)

3. Der Punkt (2/-2) ist Extrempunkt, d.h. zu zeigen ist: f'(2)=0 und f''(2)\(\neq\)0 (die Ableitung von f an der Stelle x=2 ist 0 und die zweite Ableitung f''(2) ist ungleich 0)

Bestimme die erste Ableitung von f : \(f'(x)={ x }^{ 3 }-4x \)

Berechne f'(x=2) : \(f'(2)={ 2 }^{ 3 }-4*2=0\)

[Bestimme die zweite Ableitung von f: \(f''(x)=3{ x }^{ 2 }-4\)

Berechne f''(x=2) = \(f''(2)=3*4-4=8\neq 0\)]

VG!

Answer 3

f(x)=ax⁴+bx²+c

f '(x)= 4ax³+2bx

f(4)=34

f(2)= -2

f '(2)=0   -> notwendige Bedingung für Extremum

 Wir setzen eim und erhalten drei Gleichungen:

256a+16b+c= 34

16a+4b+c= -2

32a+4b=0

Das LGS löst du und kommst auf

a=1/4

b= -2

c= 2

Die funktion ist also

f(x)= 1/4*x⁴ -2x² +2

Answer 4

Substituiere:

$$s=x^2$$