Zu a) ; zu den Wurzeln. Diese ad hoc 3. binomische hält sich äußerst hartnäckig; was tätest du denn, wenn da keine Quadratwurzel, sondern eine 4 711. Wurzel stehen würde?
Es gibt da ein Genie, dessen Namen ich leider nicht behalten habe; auf dem Konkurrenzportal ===> Ly cos haben die ziemlich viele Genies. Der löste deine Aufgabe für den Fall, dass da Kubik-statt Quadratwurzeln stehen.
Ich bin heute zu der Einsicht gelangt, dass der ursprünglich in Ly cos veröffentlichte Vorschlag zu unflexibel ist; bei dem Vorschlag handelt es sich quasi um eine Verallgemeinerung der Inversion am Einheitskreis.
x ^ r = 1 / z ^ k ; r € |R ; k € N ; lim ( 1a )
z ===> 0
Und zwar bedeutet r die höchste Potenz, mit der x vorkommt; in deinem Falle also r = 1 . Und k steht für die Ordnung der Wurzel; k = 2 weil Quadratwurzel.
x =: 1 / z ² ( 1b )
( 1b ) einsetzen in deine Funktion
F ( x ) := sqr ( x + 3 ) - sqr ( x ) = ( 2a )
= F ( z ) = sqr ( 1 / z ² + 3 ) - sqr ( 1 / z ² ) = ( 2b )
= ( 1 / z ) [ sqr ( 3 z ² + 1 ) - 1 ] ( 2c )
Die Ly costransformation ist genau so gebastelt, dass die Potenz, die wir vor die beiden Wurzeln ziehen, z ^ 1 ist. Wie unter ( 1a ) vermerkt, geht jetzt aber im Limes z gegen Null.
Nun ist aber ( 2c ) schlicht und ergreifend der Differenzenquotient ( DQ )
f ( z ) - f ( 0 )
F ( z ) = -------------------------- ( 3a )
z - 0
wobei in ( 3a ) gesetzt wurde
f ( z ) := sqr ( 3 z ² + 1 ) ( 3b )
Der Grenzwert des DQ in ( 3a ) ist natürlich nichts weiter als die Ableitung f ' ( 0 )
f ' ( z ) = 3 z / sqr ( 3 z ² + 1 ) ===> 0 ( 3c )
Einmal bekam ich einen empörten Kommentar
" Für was lernen wir eigentlich ' Definitionsbereich ' , wenn ich doch die Aufgabe lösen kann, indem ich den Definitionsbereich transformiere? "
