Differenzialrechnung: Tangentensteigung durch Funktion und Punkte, Gleichung bestimmen

Question

zu folgenden drei Aufgabentypen habe ich einige Fragen.

a) Gegeben ist die Funktion und die Punkte. Berechne die Tangentsteigung in folgenden Punkten.

Berechnung der fehlenden Punkte:

h(x) = x^3-4*x^2+1    P(1/?) Q(3/?) R(-1/?) S(0/?)

h(1)=1^3-4*1^2+1= -2 P(1/-2)

h(3)=3^3-4*3^2+1=-8 Q(3/-8)

h(-1)=-1^3-4*(-1)^2+1=4 R(-1/4)

h(0)=0^3-4*0^2+1=1 S(0/1)

Berechnung der Tangentsteigung:

Grundfunktion h(x)=x^3-4*x^2+1 ableiten

h(x)=3x^2-8*x+1

h(x)=6*x-8*x+1

Setze x-Werte zu Berechnung von Steigung m ein:

P(1/2) 6*1-8*1+1 m=-1

Q(3/-8) 6*3-8*3+1 m=-5

R(-1/4) 6*(-1)-8*(-1)+1 m=3

S(0/1) 6*0-8*0+1 m=1

Aufgabe so richtig gelöst?

b) Gib alle Punkte der jeweiligen Funktion an, die jeweils die angegebene Tangentsteigung haben:

Gegeben: f(x)=2*x^3      m=-2

Ableiten:

f(x)=2*x^3

f(x)=6*x^2

f(x)=12*x

Schnittpunkt X-Wert bestimmen:

12x=-2|:12

x=-0,167

Y-Wert bestimmen:

12*(-0,167)=-2,004     P(-0,167 / -2,004)

Ich denke mal nicht, das dies so stimmt oder? In der Theorie wird hier der Schnittpunkt der Funktion mit der Tangente berechnet?

c) Bestimme die Gleichung der Tangente t der Funktion f(x) im angegebenen Punkt P.

gegeben: f(x)=2*x^3-6*x+2   P(-1/?)

X-Wert einsetzen um Y-Wert zu bestimmen:

f(-1)=2*(-1)^3-6*8-1)+2=6      P(-1/6)

Funktion ableiten und X-Wert einsetzen um Steigung m zu bestimmen

f ' (x)=6*x^2-6+2

        = 12*x-6+2

        = 12*(-1)-6+2=16     m=16

C mit m=16, y=6, x=-1 berechen

6=16*(-1)+c |+16

22=c

In m*x+b einsetzen: t(x)=16*x+22

Für jegliche Kommentare/Korrekturen bedanke ich mich schonmal recht herzlich im voraus.

Answer 1

zu a.)

Es wird nur nach den Tangentensteigungen in versch. Punkten gefragt. Dazu brauchst du nur die x-Koordinaten der Punkte.

Du leitest einmal ab, und setzt den jeweiligen x-Wert des Punktes in die ABleitung ein: das Resultat-> die Tangentensteigung

Meine Rechnung bei Punkt P

h(x) = x³-4*x²+1 

h '(x)= 3x² -8x 

x-Wert von P einsetzen:

h '(1)= -5 

in P ist m= -5 die Tangentensteigung.

b.)

Auch hier wieder nur EINmal ableiten

 f(x)=2*x³

f '(x)= 6x²

Mit der Steigung m= -2 gleichsetzen:

f '(x)= 6x²    =  -2          |:6

           x²    =  -1/3

keine reelle Lösung -> Wurzel au8s negativen Zahlen ist nicht definiert, daher hat der Graph an keiner Stelle die STeigung m = -2

c.)

X-Wert einsetzen um Y-Wert zu bestimmen:

f(-1)=2*(-1)³-6*8-1)+2=6      P(-1/6)

Das hast du richtig

f ' (x)=6*x²-6+2 

ist falsch abgeleitet ( warum leitest du die Funktionen eigentlich mehrfach ab? für die Errechnung der Steigung brauchst du nur die erste ABleitung)

Richtige Ableitung vonf ist 

f '(x)=6x² -6 

x-Wert des Punktes einsetzen:

f '(-1)= 0

Steigung der Tangente bei x= -1 ist 0.

Tangentengleichung:

y=0*x+n  

Punkt P(-1|6) eingeben:

6= 0*-1+n

->n=6

Die Gleichung lautet

y=6

Comments

Erstmal Dennoch habe ich noch einpaar Fragen.

a) Um die fehlende Y-Koordinate zu berechnen reicht es den X-Wert in die gegebene Normalfunktion einzusetzen?

h(x)=1^3-4*1^2+1=-2 P(1/-2)

X-Wert in Ableitung wird ja benötigt um m zu berechen.

b) Wenn eine reelle Lösung möglich wäre, wäre das Ergebnis davon eine X oder Y-Koordinate?

Folgendes Vorgehen möglich? Beispiel f(x)=4x m=4

F(x)=2x^2 = 4|:2

             x^2=2          √2=Liefert kein Ergebnis

c)

"f '(x)=6x² -6 

x-Wert des Punktes einsetzen:

f '(-1)= 0"      Wäre ausgeschrieben f(x)=6*(-1)^2-6*(-1)=0 ?

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a.)

Ja. Für die zugehörige y-koordinate von P setzt du die x-Koordinate von P in die unabgeleitete Funktion h(x) ein. Das hast du richtig gemacht.

b.)

F(x)=2x² = 4    wenn F(x) die Ableitung der einer Funktion ist, willst du mit dieser Gleichung wohl prüfen an welchen Stellen der Graph die Steigung 4 hat. 

2x² = 4 |:2

x²=2    |√

x=±√2

Der Graph hat an den Stellen √2  und -√2 die Steigung 4

c.)

f '(-1)= 0"      Wäre ausgeschrieben f(x)=6*(-1)²-6*(-1)=0 ? 

Das hast du richtig erkannt

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Genau genommen ist lediglich die Funktion f(x)= 4x gegeben, zur Prüfung wo die Steigung m=4 ist,

würde ich die f(x)=4x "rückwärts ableiten" sofern dies erlaubt ist.

f(x) = 4x

f ' (x) = 2x^2

Und dann wie beschrieben weiter rechnen.

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Wenn du überprüfen sollst wo bei der Funktion f(x)=4x die Steigung 4 ist, so musst du diese Funktion ableiten.

Wie kommst du denn darauf dass die Funktion "rückwärts abzuleiten" (heißt auch integrieren).

Die Steigungsfunktion einer Funktion ist immer die erste Ableitung.

Hier wäre die erste Ableitung von f(x)=4x folgende:

f '(x)=4

gleichsetzen mit 4

4=4

Antwrt: die Funktion f (x) hat überall die Steigung 4