Wieviele bijektive Abbildungen X nach X gibt es? X hat n Elemente.

Question

Sei X eine endliche Menge mit n Elementen.
Wieviele bijektive Abbildungen X nach X gibt es? 

Und dann muss ich meine Behauptung beweisen.

Comments

Wieviele bijektive Abbildungen X nach X gibt es?  Vorschlag für eine Behauptung: n! 

Und dann muss ich meine Behauptung beweisen. Versuche es mit vollständiger Induktion. 
Eine ausführliche Verankerung (n=1, n=2, n=3, n=4...)  zeigt dir, ob meine Vermutung stimmen kann, oder ob du eine andere Vermutung aufstellen kannst.

---

Hi, 

So, ich hab nun leider keine Ahnung was ich machen bzw. wie ich anfangen muss. Ich möchte das ganze ja verstehen, können Sie mir bitte helfen?

Answer 1

Wenn die Abbildung von X nach X bijektiv ist, werden ja niemals zwei verschiedene

auf ein gleiches Element abgebildet und alle kommen als Bilder vor.

Wenn du also   f(x1)   f(x2)    f(x3)  .....   f(xn ) hinschreibst,

sind das die gleichen Elemente wie x1   x2   x3   .......  xn  nur

eben in einer eventuell anderen Reihenfolge.

Also gibt es genauso viele bij. Abb'en wie es unterschiedliche Reihenfolgen gibt;

denn wenn bei zwei Abb'en die Reihenfolgen gleich sind, ist beides die gleiche

Abbildung.

Und dass die Anazhl der verschiedenen Reihenfolgen n ! ist, beweist man leicht mit

vollst. Induktion.

Comments

beweist man "leicht"? Für dich ist leicht, ja, aber trotzdem danke )

---

Möchtest du den Induktionsbeweis sehen ?

---

Ja, sehr gerne. VI ist immer so schwer für mich..

---

mathef kannst du mir bitte der Induktionsbeweis auch zeigen?

Mfg

---

Beh: Für die Anordnung von n verschiedenen Objekten gibt es n! Möglichkeiten.

Ind. anf.  1 Objekt   1! = 1  passt.

Wenn es für n Objekte gilt und ich will n+1 Objekte anordnen, dann kann ich aus

jeder Anordnung der ersten n Stück das n+1 Objekt entweder vor das 1. stellen

oder vor das 2. ( also zwischen 1. und 2. ) oder zwischen 2. und 3. etc.

und kann das neue aber auch hinter das letzte stellen.

So erhalte ich aus jeder Anordnung der n ersten dann n+1 verschiedene

Anordnungen für alle n+1 Objekte.

Weil das mit jeder Anordnung der ersten n klappt, und auch jedes Mal etwas neues

entsteht; denn das n+1 kommt ja unter den ersten n nicht vor, erhält man

Anzahl der Anordnungen von n Stück * (n+1)

wegen Ind. vor. also

N ! * (n+1) = (n+1) !    q.e.d.