Konvergenz von an nach der Definition mit Epsilon

Question

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe, ich verstehe nicht wie ich das lösen soll

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(2)  Sei \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Wähle \(N\in\mathbb N\) so groß, dass \(N>\frac1{4\varepsilon^2}\) ist. Dann gilt für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n>N\):$$\vert a_n-0\vert=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<\frac1{2\sqrt n}<\frac1{2\sqrt N}<\varepsilon.$$

Answer 1

(1) Damit du siehst wie man die Bedingung für das no findet vielleicht besser so:

Der Grenzwert ist ja 1/2 damit   | an - 1/2 | < eps gilt rechne ich

| an - 1/2 | <  eps

| (n+1) / ( 2n-1 ) - 1/2 | < eps

| 3 / ( 4n-2) | < eps     Betrag egal, da alles positiv für n aus IN.

3 / (4n-2) < eps

3 < eps * ( 4n - 2 )

3/eps <   4n - 2

3/eps  +  2  < 4n   

3/ ( 4eps) + 1/2  < n 

Also muss n größer als  3 / (4eps) +1/2  sein.

Da es (Axiom des Archimedes) ein n gibt, das größer als

3/ ( 4eps) + 1/2  ist, wählt man dieses als no und zeigt dann,

das für alle größeren | an - 1/2 | <  eps gilt..

So ähnlich findet man das auch im Fall (2). ( s. Kommentar)

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Wie komme ich auf den Grenzwert?

MfG