Funktionen berechnen und zeichnen mit Höhenlinien

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

Gegeben ist die Funktion $f(x, y)=x^{2}-y+2 .$ Diese beschreibe eine Landschaft, so dass die Höhe in Metern über dem Meeresspiegel gerade durch $h=f(x, y)$ gegeben ist. Sie selbst stehen im Koordinatenursprung $(x, y)=(0,0) .$ Die $x$ -Achse verlaufe von Westen nach Osten, die $y$ -Achse von Süden nach Norden.

(a) Wie hoch iber dem Meeresspiegel stehen Sie?

(b) Skizzieren Sie die Höhenlinien $f(x, y)=c$ für $c=-1, c=0$ und $c=1$

(c) In welche Himmelsrichtung würde ein Ball rollen, den Sie dort, wo Sie stehen, auf den Boden
legen?

(d) Bearbeiten Sie die Teilaufgaben (a) bis (c) auch für die Funktionen $g(x, y)=y-x$ und
$$k(x, y)=2 x \mathrm{e}^{-y}$$
Lösungen:
$f(x, y)=x^{2}-y+2, \quad h=f(x, y), \quad(x, y)=(0,0)$
$f(0,0)=0^{2}-0+2=2 \Rightarrow 2 m$ ü. $N N$
$x^{2}-y+2=c$
$y=x^{2}-c+2$
$y(-1)=x^{2}-(-1)+2=x^{2}+3$
$y(0)=x^{2}-(0)+2=x^{2}+2$
$y(1)=x^{2}-(1)+2=x^{2}+1$
Der Ball rollt nach Westen.
$g(x, y)=y-x, \quad h=g(x, y), \quad(x, y)=(0,0)$
$g(0,0)=0-0=0 \Rightarrow 0 m$ i. $N N$
$y-x=c$
$y=-x-c$
$y(-1)=-x-(-1)=-x+1$
$y(0)=-x-(0)=-x$
$y(1)=-x-(1)=-x-1$
Der Ball rollt nach Nordosten.
$k(x, y)=2 x \cdot e^{-y}, \quad h=k(x, y), \quad(x, y)=(0,0)$
$k(0,0)=2 \cdot 0 \cdot e^{-(0)}=0 \Rightarrow O m$ ii. $N N$
$2 x \cdot e^{-y}=c$
$y=\log \left(\frac{2 x}{c}\right)$
$y(-1)=\log \left(\frac{2 x}{-1}\right)=\log (-2 x) \Rightarrow \mathfrak{S}$ (Komplexe Zahlen)
$y(0)=\log \left(\frac{2 x}{0}\right) \Rightarrow$ nicht definiert
$y(1)=\log \left(\frac{2 x}{1}\right)=\log (2 x)$
Der Ball rollt nach Osten. 
Skizzen:

Sind meine Ergebnisse richtig?

Beste Grüße,

Asterix

Comments

c.)
f ( x,y ) = x^2 - y + 2
Hier dürfte eine partielle Ableitung zum Ziel führen
f ´ x = 2 * x
f ´ y =  -1

Bei x = 0 ist in Ost-West-Richtung die Steigung 0.
Der Ball rollt weder nach Ost noch nach West

für x =  0
y = 1  h = 1
y = 0  h = 2
y = -1  h = 3
Der Ball rollt von Hoch nach Tief also von y = -1 nach y = 1
also nach Norden

Ich warte einmal ab was du meinst.

mfg Georg

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Hallo Georg,

ich bin mir nicht sicher. Aber ich denke, dass  k(x,y) falsch ist. Unten ist die Korrektur:

f(x,y) = x²-y+2

c=0:
y-x=0 |umformen nach y →y=x

c=1:
y-x=1 → y=x+1

c=-1:
y-x=-1 → y=x-1

k(x,y) = 2x·e^-y

c=0:
2x=0 oder e^-y=0 →y-Achse

c=1:
1=2x*e^-y        |*e^y
e^y=2x            |ln
y=ln(2x)=ln(2)+ln(x)=0.7+ln(x)

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach oben verschoben.

c=-1:
-1=2x*e^-y        |*e^y
e^y=-2x            |ln
y=ln(-2x)=ln(-2)+ln(x)=-0.7+ln(x)

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach unten verschoben.

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Korrektur: 
f(x,y)=x²-y+2 (siehe oben unter Lösungen)

g(x,y)=x-y 

c=0: 
y-x=0 |umformen nach y →y=x 

c=1: 
y-x=1 → y=x+1 

c=-1: 
y-x=-1 → y=x-1 

k(x,y)=2x·e^-y 

c=0: 
2x=0 oder e^-y=0 →y-Achse

c=1: 
1=2x*e^-y        |*e^y 
e^y=2x            |ln 
y=ln(2x)=ln(2)+ln(x)=0.7+ln(x) 

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach oben verschoben.

c=-1: 
-1=2x*e^-y        |*e^y 
e^y=-2x            |ln 
y=ln(-2x)=ln(-2)+ln(x)=-0.7+ln(x) 

Die Kurve y=ln(x) wird um 0.7 Einheiten nach unten verschoben.

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@Georg

Man steht auf jeden Fall am Koordinatenursprung (0|0). Die drei Funktionen zeigen den Verlauf der Höhe an. Legt man den Ball bei der roten Kurve von f hin, dann rollt der Ball treppenartig zur gelben und blauen Kurve Richtung Norden. Also hättest du Recht. Wenn man das 3-dimensional veranschaulichen könnte, dann wäre es bestimmt noch einfacher zu erkennen.

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Skizze von k(x,y):

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Skizze von g(x,y):
 

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Wie rollt der Ball?

f(x,y)=x²-y+2 NORDEN

g(x,y)=x-y  NORDWESTEN

k(x,y)=2x·e^-y  ?

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f(x,y)=x²-y+2 NORDEN 

g(x,y)=x-y  NORDWESTEN 

k(x,y)=2x·e^-y  SÜDOSTEN

SKIZZEN:

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Die Aufgaben sind reichlich kompliziert.
Eine 3d-Plotter habe ich.
Es geht aber erst morgrn weiter.

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Hier der Graph

Ich denke aber zur Aufgabenstellung standen noch kein 3-D-plotter
zur Verfügung.
Ich werde mich mit der Aufgabe noch weiter beschäftigen.

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Für die Aufgabe c.) wird die Vorgehensweise praktikabel sein

Partielle Ableitung in x und  y Richtung bilden.

In x - Richting an einer Stelle x0

Ist die Ableitung positiv / steigendes Gelände  läuft der Ball nach Westen ( links )
Ist die Ableitung negativ / fallendes Gelände   läuft der Ball nach Osten ( rechts )

in y Richtung an der Stelle y0

Ist die Ableitung positiv / steigendes Gelände  läuft der Ball nach Süden
Ist die Ableitung negativ / fallendes Gelände   läuft der Ball nach Norden.

x0 = 0
y0 = 0
a.)
f ´ x   = 2*x
f ´ x ( 0 ) = 0  Keine Rollbewegung
f ´ y = -1
f ´y ( 0 ) =  -1  Laufrichtung  Norden
insgesamt : nach Norden

b,)

g ( x,y ) = y - x
g ´x =  -1 nach Osten
g ´ y = 1 nach Süden
Insgesamt nach Südost

c.)
k ( x,y ) = 2 * x * e^-y
k ´x =  2 * e^-y 
y0 = 0
k´ ( 0 ) = 2  nach Westen

k ´y = -2 * x * e^-y 
x0 = 0
k ´ y = 0  keine Rollbewegung
insgesamt nach Westen

zu a.)
Der Funktionswert läßt sich leicht berechnen.

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Hier die Höhenlinien a.) für f

Mich verwirrt der Graph eher.

Bei Bedarf kann für g und k die Höhenlinie auch eingestellt werden.

Answer 1

Bei den Bildern kann das kostenlose Microsoft Mathematics (64 Bit) helfen:

Comments

Hallo georgborn und hyperG,

vielen Dank für Eure Unterstützung! Um solche Aufgaben lösen zu können, ist es wichtig die partielle Ableitung an der Stelle x₀ sowie y₀ zu bilden. Je nachdem, ob die Steigung positiv oder negativ ist wird eine Richtung vorgegeben. Bei f'(x₀)=0 bzw. f'(y₀)=0 findet keine Rollbewegung statt. Wenn beide Parameter gleich 0 wären, dann würde der Ball am Koordinatenursprung (0|0) bleiben. Man könnte in diesem Fall keine Himmelsrichtung festlegen oder 360° alle Himmelsrichtungen wie bspw. am geographischen Südpol. Das Microsoft Programm werde ich mir mal ansehen, da ich bis jetzt nur den Funktionsplotter (Windows Store) genutzt habe. Einerseits ist es schön, wenn man eine 3D-Visualisierung hat, aber andererseits muss man sich erstmal daran gewöhnen und einarbeiten. Man lernt nie aus ;-)

Beste Grüße,

Asterix