Matrizen Multiplikation mit Eigenschaft A*X=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))

Question

Aufgabenstellung:Mein Lösungsansatz:
Anschließend muss ich ja die linke Matrix mit der rechten Matrix multiplizieren, sodass ich zur folgenden Lösung komme:
Im nächsten Schritt habe ich die Gleichungen untereinander gestellt und 0 gesetzt:
4a+2d+4g=0                 2a+5d+6g=0                              2a+3d+4g=0
4b+2e+4h=0                2b+5e+6h=0                               2b+3e+4h=0
4c+2f+4i=0                   2c+5f+6i=0                                  2c+3f+4i=0

Laut einer ähnlichen Aufgabe in meinem Skript bin ich mir bis hier hin sicher, das ich das richtig gelöst habe.Nachfolgend weis ich aber nicht so recht wie ich weiter auflösen muss. Dachte mir zuerst, dass ich den ersten Block vll. subtrahiere, sodass
4a+2d+4g=0                    2a+5d+6g=0                      2a+3d+4g=0              ->     6d-6g=0

ergibt

Durch Umformung komme ich dann auf

-6d-6g=0   |+6d                             -6g=6d      |:(-1)                      6g=-6d      |: 6                    g=-d

Dies scheint aber irgendwie nicht ganz zu stimmen. :( Ich blick da nicht so ganz durch, hatte vorher auch nie irgendwas mit Matrizen zu tun gehabt.

Answer 1

Aus kannst du entnehmen, dass a=b=c, d=e=f, g=h=i sein muss. Es genügt also, das lineare Gleichungssystem

        4a+2d+4g = 0        I

        2a+5d+6g = 0        II

        2a+3d+4g = 0        III

zu lösen. Ersetze III durch II - III und II durch II - 1/2 I.

        4a+2d+4g = 0        I

           4d+4g = 0        II

           2d+2g = 0        III

Ersetze III durch III - 1/2 II und II durch 1/4 II

        4a+2d+4g = 0        I

            d+g = 0        II

           0 = 0        III

Ersetze I durch I - 4 II

        4a-2d = 0        I

            d+g = 0        II

           0 = 0        III

Es ist dann d beliebig, a = 1/2 d und g = -d. Damit sind die gsuchten Matizen $$ r\cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix} $$