Question

Bestimmen sie die Lösung der Anfangswertaufgabe von

y' = -exp(x) + exp(2x),   y(0)=1

Answer 1

y' = - exp (x) y + exp(2x),y (0)=1 ->Lösung durch Variation der Konstanten

1. Lösung der hom. DGL

y' + exp (x) y =0 ----------->Trennung der Variablen

dy/y =e^{-x} dx

ln|y| = -e^x +C

y_h= C_1 * e  ^{-e ^x}

y_p  = C_1(x) `  *e ^ ( - e ^x)

2. y_p '= C_1(x) * e  ^ - ( e ^ x ) -C_1(x) *e ^{x-e^x}

3. Einsetzen in die Aufgabe:

C(x)= e^{e^x} *(e^x-1)

4.y= y_h+y_p

Meine Lösung :

y= C_1 *e^{ -e^x} +e^x -1

5. Mit AWB:

y= e^{1 -e^x} +e^x -1

Comments

könntest du vielleicht erklären warum das exp(2x) weggelassen wird?

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Das Verfahren Variation der Konstanten funktioniert so , kennst du dieses Verfahren?

Man betrachtet zuerst die hom. Gleichung.

Wenn nicht , hier ein Link

http://mathedia.com/gewoehnliche-differentialgleichungen/variation-der-konstanten-aufgabe-1/

Unter Punkt 3 kommt ja  das e^{2x} wieder ins Spiel.

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Okay, danke für den link! Jetzt ist mir schon mal einiges klarer geworden.

Allerdings versteh ich nicht so ganz wie du auf die Zeile dy/y gekommen bist, also hast du einfach nur die Stammfunktion von -e(x) gebildet?

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dy/y = -e^x dx

ja ich habe auf beiden Seiten integriert.

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Könntest du vielleicht nochmal erläutern wie genau du vorgegangen bist? Habe es nach diesem Video hier gemacht und komme auf ln(y)=-e^x + C

 

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hier mein Weg:

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y_h= C_1 * e  ^{-e ^x}

y_p  = C_1(x) `  *e ^ ( - e ^x)

2. y_p '= C_1(x) * e  ^ - ( e ^ x ) -C_1(x) *e ^{x-e^x
Was ist damit gemeint ?}

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y_h= C_1 * e  ^{-e x}

^{Das ist die homogene Lösung}

y_p  = C_1(x) `  *e ^ ( - e ^x)

Ansatz für die partikuläre Lösung (dabei setzt man C_1=C_1(x)

2. y_p '= C_1(x) * e  ^ - ( e ^ x ) -C_1(x) *e <sup>x-ex

1. Ableitung nach der Produktregel von y_p</sup>