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Lösungsraum, Nullraum und Rang einer Matrix
Der Lösungsraum, der Nullraum und der Rang einer Matrix sind grundlegende Konzepte der linearen Algebra, die helfen, die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zu verstehen.
Lösungsraum (oder Lösungsmenge):
Der Lösungsraum einer Matrix in Verbindung mit einem linearen Gleichungssystem besteht aus allen Vektoren, die dieses Gleichungssystem erfüllen. Man erhält den Lösungsraum, indem man das Gaußsche Eliminierungsverfahren anwendet, um die Matrix auf Zeilenstufenform (oder reduzierte Zeilenstufenform) zu bringen und anschließend die entsprechenden Variablen zu lösen. Der Lösungsraum hängt von der spezifischen rechten Seite des Gleichungssystems ab.
Nullraum (oder Kern)
Der Nullraum einer Matrix ist der Satz aller Vektoren \(x\), für die gilt: \(Ax = 0\), wobei \(A\) die gegebene Matrix und \(0\) der Nullvektor ist. Um den Nullraum zu finden, setzt man das Gleichungssystem \(Ax = 0\) auf und löst es mittels Gaußschem Eliminierungsverfahren. Der Nullraum enthält alle Vektoren, die, wenn sie mit der Matrix multipliziert werden, den Nullvektor ergeben. Der Nullraum ist damit unabhängig von der spezifischen rechten Seite des Gleichungssystems.
Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix gibt die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix an. Er kann durch Umformung der Matrix in Zeilenstufenform oder reduzierte Zeilenstufenform ermittelt werden, wobei die Anzahl der nicht-null Zeilen (Zeilen, die nicht ausschließlich aus nullen bestehen) den Rang der Matrix angibt. Der Rang ist entscheidend dafür, wie viele Lösungen ein linearer Gleichungssatz hat:
- Wenn der Rang der Matrix gleich der Anzahl der Unbekannten ist, hat das System eine einzigartige Lösung.
- Wenn der Rang der Matrix kleiner als die Anzahl der Unbekannten ist, hat das System unendlich viele Lösungen.
- Wenn der Rang der erweiterten Matrix (Matrix plus rechte Seite des Gleichungssystems) größer ist als der Rang der ursprünglichen Matrix, ist das System inkonsistent und hat keine Lösung.
Rangbestimmung der gegebenen Matrix
Um den Rang der gegebenen Matrix zu bestimmen, formen wir die Matrix zuerst um:
\(
\begin{array} { r r r r }
2 & 1 & 4 & 5
-4 & -2 & -5 & -4
6 & 3 & 7 & 5
\end{array}
\)
Wir können den Rang dieser Matrix durch Gauß-Elimination bestimmen. Beachte jedoch, dass ohne die genauen Schritte der Umformung wir nicht direkt den Rang bestimmen können. Generell kann man sagen, dass die Anzahl der nicht-linearen Zeilen (nach der Gauß-Elimination) den Rang der Matrix widergibt.
Angenommen, die Gauß-Elimination hat gezeigt, dass alle drei Zeilen der Matrix linear unabhängig sind, wäre der Rang der Matrix 3. Wenn eine der Zeilen linear abhängig von den anderen ist, wäre der Rang 2 oder weniger. Da das spezifische Gauß-Eliminationsverfahren und dessen Ergebnisse hier nicht angegeben sind, ist eine genaue Rangbestimmung nicht möglich.
Zusammenhang zwischen Rang und Lösungen
- Wenn der Rang gleich der Anzahl der Spalten (hier 4) ist, würden wir eine eindeutige Lösung erwarten, was jedoch in diesem Fall, mit drei Zeilen und vier Unbekannten, nicht gegeben ist.
- Wenn der Rang gleich der Anzahl der Zeilen ist (aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten), wie es hier der Fall sein könnte, deutet das auf unendlich viele Lösungen hin.
- Der Nullraum dieser Matrix wäre dann jener Vektorraum, der alle Lösungen für \(Ax = 0\) umfasst. Seine Dimension (die Dimension des Nullraums) ergibt sich aus der Anzahl der Unbekannten minus dem Rang der Matrix.
Für eine präzise Bestimmung des Lösungsraumes, des Nullraums und des Ranges in Ihrem speziellen Fall ist es notwendig, das Gaußsche Eliminierungsverfahren durchzuführen und die Matrix konkret zu analysieren.
