Nachweis Wendepunkt mit "Ableitungsformel" (NRW-Abitur 2009, LK)

Question

Folgende Aufgabenstellung stammt aus der NRW-LK-Abiturprüfung 2009:

d) (2) Weisen Sie unter Verwendung der Gleichung h_a'(t) = h_a(t) · (2 − h_a(t)) für die Funktionen h_a nach:

Liegt an der Stelle t_w ein Wendepunkt vor, der kein Sattelpunkt ist, so gilt: h_a(t_w) = 1.

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Funktion h_a(t) = 2 − (2a)/(e^{2t} + a) ; t ≥ 0; a > 0

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Meine Idee wäre jetzt, die mir bereits gegebene erste Ableitung für h_a(t) in die Gleichung einzusetzen, sodass ich letztlich auf die erste Ableitung der ersten Ableitung, also die zweite Ableitung käme. Die Gleichung mit der eingesetzten ersten Ableitung würde ich allerdings sofort gleich 0 setzen, um mit der hinreichenden Bedingung fortzufahren. Das habe ich auch schon gemacht, aber ich komme beim Anwenden der Quotientenregel auf ein vierfaches Binom im Nenner. Ist zumindest der Ansatz korrekt?

Answer 1

h_a'(t) = h_a(t) · (2 − h_a(t))  =  2 h_a(t) ·  − (h_a(t))^2   also auch

h_a' '(t) = 2 * h' _a(t) -   2 h _a(t) * h' _a(t)     mit Kettenregel

            =  h' _a(t) * ( 2  -   2 h _a(t) )

 aus  dem Wendep. kriterium     h_a' '(t_w) = 0

folgt    sofort           h' _a(t) * ( 2  -   2 h _a(t) )  = 0

also        h' _a(t)= 0   oder      2  -   2 h _a(t)   = 0

Das erste kann nicht sein, dann wäre es ein Sattel, also

  2  -   2 h _a(t)   = 0

h _a(t)   =1

Comments

Danke für deine Antwort! Auf diesen Ansatz wäre ich nie gekommen!

Warum kann h'a(t) = 0 nicht sein? Ist das etwas, das du sofort gesehen hast oder ergab sich das aus der Rechnung? Bei mir geht das auch nicht auf, da ich auf ln aus 0 komme. Und warum wäre es dann ein Sattelpunkt?

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Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ist dort h'a(t) = 0

und kein Sattelpunkt, dann eben ungleich 0.

Answer 2

Hier meine Überlegungen

Ein Wendepunkt liegt also bei ha ( tw ) = 1

h_a(t) = 2 − (2a)/(e^2t + a) = 1
tw = ln(a) / 2

Jetzt müßte man in die 2.Ableitung t = tw eingesetzen und nachsehen
welche Steigung vorhanden ist.
Ist die Steigung 0 ist es ein Sattelpunkt.

Soviel zunächst.