Komplexe Gleichung "zu kurz" für p-q-Formel z^4-16=0

Question

mal wieder eine Frage zu komplexen Zahlen.

Ich weiß, wie ich beispielsweise die Gleichung z^2+2*z+17=0 mit der p-q-Formel lösen kann.

Nun soll ich aber folgende Gleichung ebenfalls im Bereich der komplexen Zahlen lösen:

z^4-16=0

Wie muss man hier vorgehen?

Answer 1

diese quartische Gleichung \( z^{4} - 16 = 0 \) kann durch Substitution gelöst werden:

\( x = z^2 \Longrightarrow x^2 - 16 = 0\).

Es ist nun \( p = 0 \) und \( q = -16 \) und folglich \( x_{1, 2} = \pm 4 \).

Rücksubstitution ergibt

\( z_{1, 2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \) und \( z_{3, 4} = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i \), denn \( i = \sqrt{-1} \).

Mister

Comments

Danke, hat mir sehr geholfen!

Jetzt hätte ich zur Sicherheit gleich noch eine Aufgabe:

z^6-4*z^3+8=0

Muss auch hier substituiert werden?

Grüße

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Ja, auch hier muss substituiert werden. Aber womit?

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x = z^3 -> u^2-4*u+8=0 -> z1/2=2±√((-2)^2-8) So weit bin ich gekommen, ist das so weit erstmal richtig? Und wie würde es weiter gehen?

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Fast richtig: Es muss heißen \( u_{1, 2} = 2 \pm \sqrt{\dots} \). Und wenn du \( u \) als Variable verwendest, lautet die Substitution \( u = z^3 \).

Jetzt bestimmst du \( z_{1, 2} = \sqrt[3]{u_{1, 2}} \) in \( \mathbb{C} \). Daraus ergeben sich \( 6 \) Lösungen, nämlich \( 3 \) für \( z_1 \) und \( 3 \) für \( z_2 \).

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Jetzt hab ich aber noch das Problem dass ja unter der Wurzel -12 nach 2± heraus kommt. Das kann ich ja so nicht eingeben logischerweise, weil negative Wurzeln nicht definiert sind. Muss man das zu √(12i^2) umschreiben und so eingeben?

Wäre lieb, wenn du noch kurz erklären könntest wie man mit der dritten Wurzel genau an die 6 Lösungen kommt.

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Statt \( \sqrt{-12} \) tippst du \( \sqrt{12} \) ein und schreibst \( \pm i \sqrt{12} \). Das hilft dir allerdings nicht bei den dritten Wurzeln.

Für die andere Aufgabe stellst du am besten eine neue Frage. Zum Lesen gibt es  http://www.mathe-online.at/lernpfade/lernpfad_schubatzky/?kapitel=4 .

Answer 2

z⁴-16=0

( z²- 4 ) * (z²  + 4 ) =0

z=2 oder z= -2  oder z = 2i  oder z = -2i

Comments

Gefällt mir auch besser (noch ein +), aber so ist das halt mit den "besten Antworten" :-).