Parameteraufgabe - ganzrationale Funktionen

Question

Gegeben sind die reellen Funktionen fk(x) = -1/3*x^3+2/3kx^2

a) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k. Führen Sie eine geeignete Fallunterscheidung durch und beschreiben Sie jeweils den Verlauf des Graphen in der Umgebung dieser Nullstellen.

Ich komme schon bei der Ermittlung der NS nicht weiter.

Schreibe morgen Schulaufgabe bitte  Antworten, danke!

Comments

Der Einstieg besteht darin, den Funktionsterm zu faktorisieren,
indem der Leitkoeffizient und die kleinste Potenz ausgeklammert werden:

f_k(x) = -1/3*x³+2/3kx² = -1/3*x²*(x-2k)

Nun bist Du wieder mit der Fallunterscheidung dran!

Answer 1

fk(x) = - 1/3·x^3 + 2/3·k·x^2

a) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion fk in Abhängigkeit von k. Führen Sie eine geeignete Fallunterscheidung durch und beschreiben Sie jeweils den Verlauf des Graphen in der Umgebung dieser Nullstellen.

Nullstellen fk(x) = 0

- 1/3·x^3 + 2/3·k·x^2 = x^2·(-1/3·x + 2/3·k) = 0

Satz vom Nullprodukt

x1 = 0

-1/3·x + 2/3·k = 0
x - 2·k = 0
x = 2·k

Für k = 0 gibt es eine dreifache Nullstelle bei 0, für k <> 0 gibt es zwei Nullstellen. Eine doppelte bei 0 und eine einfache bei 2k.

Eine doppelte Nullstelle bedeutet der Graph berührt nur die x-Achse schneidet sie aber nicht. Eine einfache bzw. dreifache Nullstelle bedeutet der Graph schneidet die x-Achse.

Comments

Hey danke für die schnellen Antworten!

Nun, wie kann ich den Verlauf de Graphen in der Umgebung der NS beschreiben?

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Ich würde dies anhand der Vorzeichen machen. An einer Nullstelle kann der Graph sein Vorzeichen wechseln oder beibehalten, so dass also vier verschiedene Fälle möglich sind. Ausschlaggebend dafür ist die Vielfachheit (einfach, zweifach, dreifach,...) der Nullstelle. An Nullstellen mit einer ungeraden Vielfachheit muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, an Nullstellen mit einer geraden Vielfachheit kann dagegen kein Vorzeichenwechsel sein.

Durch Einsetzen einer linken und einer rechten Nachbarstelle, die jeweils so nahe an der Nullstelle liegen, dass alle anderen Vorzeichenwechselstellen (hier: Nullstellen) außerhalb des Nachbarstellenintervalls liegen, lässt sich nachrechnen, welcher der vier möglichen Fälle (-/+, +/-, -/- oder +/+) jeweils vorliegt.

Es ist auch möglich, die Fälle anhand des Kurvenverlaufs zu identifizieren.

Im konkreten Fall muss allerdings zunächst eine Fallunterscheidung anhand des Scharparameters k vorgenommen werden.