Welche der folgenden Mengen sind Unterräume von R^3

Question

ich brauch einen kleinen Denkanstoß für folgende Aufgabe:

Welche der folgendenden Mengen sind Unterräume von ℝ³:

{(x,y,z)|x+y+z=0}
{(x,y,z)|x*y=z}
{(x,y,z)|x=y=z}

Ich weiß, dass ich zeigen muss bzw. widerlegen muss, dass U bezüglich + abgeschlossen ist.(Im ersten Schritt)
In der VL haben wir es so formuliert: x+y∈U, für x,y∈U
Weiß jetzt nicht wie ich da anfangen/vorgehen soll ..

Answer 1

du musst die Untervektorraumkriterien überprüfen, es ist aber etwas unglücklich, dass ihr in der Vorlesung die Vektoren mit x und y bezeichnet und in dieser Übung die Komponenten des Vektors x y z heißen.

Daher sei a=(a₁,a₂,a₃) , b=(b₁,b₂,b₃), a und b∈U_i

Beispiel U₁= {(x,y,z)|x+y+z=0} :

Als erstes musst du prüfen, ob U ungleich der leeren Menge ist.

Da a=(0,0,0) die Gleichung erfüllt, ist U nichtleer.

Abgeschlossenheit bzgl. Addition: a+b ∈ U₁ prüfen:

a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃ +b₃)

x+y+z=a₁+b₁+a₂+b₂+a₃ +b₃=0+0=0 erfüllt also die Bedingung

Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation: α∈ℝ (oder ℂ je nachdem was ihr gewählt habt) 

α*a=α*(a₁,a₂,a₃) --> x+y+z=α*(a₁+a₂+a₃)=0

--> U₁ ist Untervektorraum

U₂={(x,y,z)|x*y=z} 

Der Raum U₂ ist nichtleer (Nullvektor z.B enthalten)

Für die Abgeschlossenheit der Addition kann man hier ein

Gegenbeispiel finden: a=(1,2,2), b=(2,4,8)

a,b sind ∈U₂, aber a+b=(3,6,10) erfüllt die Bedingung x*y=z nicht.

Also U₂ kein Untervektorraum.

Für U₃={(x,y,z)|x=y=z} kannst du es jetzt selber probieren.

Comments

Vielen Dank ! Wenn Sie mir jetzt noch die letzte Aufgabe für richtig erklären, habe ich es glaube ich verstanden.

Gegeben sei U₃ = {(x,y,z)|x=y=z}

Überprüfung der Abgeschlossenheit bzgl der Addition:
U₃ ist kein Unterraum, da sich ein Gegenbeispiel finden lässt:
Sei p=(1,1,1) , q=(3,3,3) so sind p,q∈U₃ da x=y=z , jedoch p+q∉U₃ .

Ich habe die anderen nochmal durchgerechnet und habe eine kleine " Notations-Frage"

Sie haben bei U₁ die Vektoren mit a und b bezeichnet -> a=(a1,a2,a3)  b=(b1,b2,b3) in diesem Fall stehen ja die Zahlen 1,2,3 für die Variablen x,y,z aus der Aufgabe ..
wäre es meinerseits falsch/sehr falsch, wenn ich statt a=(a1,a2,a3) a=(x1,y1,z1) und für b=(x2,y2,z2) schreiben würde, ich glaube das war nämlich Anfangs mein größtes Problem..

---

Du kannst die Komponenten auch gerne mit x₁ , y1 , z1 bezeichnen, das ist kein Problem.

Aber dein Gegenbeispiel funktioniert nicht, da p+q= (4,4,4) und das erfüllt x=y=z.

Bei U₃ handelt es sich um einen Unterraum, das kannst du mit den selben Rechenschritten wie bei U₁ zeigen.

Anschaulich gesehen handelt es sich bei U₁ um eine Ebene die durch den Ursprung geht und bei U₃ um eine Urpsrungsgeraden, solche Räume sind immer Untervektorräume.

---

"klick klick" alles klar, nun hat das Lämpchen Saft da oben besten Dank !

Ok, ich dachte nur da es heißt p= , dass sich das dann auf das p beziehen muss also p=(p1,p2,p3)

Dann zum überprüfen der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation:

für λ∈ℝ  und (x,y,z)∈U gilt   λ(x,y,z)=(λ*x,λ*y,λ*z) ∈U, da λ*x=λ*y=λ*z

somit sind alle drei Bedingungen erfüllt und U₃ ist ein Unterraum.