Ebenengleichung mithilfe des Spatprodukts konstruieren

Question

Ich wünsche euch einen guten Abend :).

Ich rechne gerade eine Altklausur durch und bin auf folgendes Problem gestoßen:

Die Aufgabe lautet: 

Die Punkte P1 (2|3|1), P2 (1|2|3), P3 (3|1|2) bilden zusammen mit O (0|0|0) ein Tetraeder.

"Wie lauten die Gleichungen der vier Ebenen, in welchen die Seitenflächen liegen?" 

Mein Problem liegt weniger in dem aufstellen von Ebenengleichungen mithilfe von 3 Punkten, sondern mit dem Hinweis, der hier gegeben ist:

"Hinweis: Liegen ein Punkt P (x|y|z) sowie drei weitere Punkte alle in einer Ebene, dann kann die Ebenengleichung mit Hilfe eines Spatprodukts erhalten werden." 

Mir wird der Zusammenhang hier gerade nicht wirklich klar. Wenn 3 Punkte in einer Ebene liegen, spannen sie kein Volumen auf, das Spatprodukt ist also gleich 0. Doch wie hilft mir das bei der einfachen Modellierung von Ebenengleichungen weiter? Und warum soll ich die 3 Ursprungsebenen und die Ebene mit den Punkten P1, P2, P3 nicht einfach ganz normal konstruieren?

Ich hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt.

Eric

Answer 1

Die Idee ist wohl:

Wenn du den variablen Punkt  X (x;y;z) mit den drei Punkten einer Ebene

verbindest, hier also etwa  0X  und P₁X  und  P₂X   dann erhältst du drei

Vektoren ( x ; y ; z ) und ( x-2 ; y-3 ; z -1 ) und   ( x-1 ; y-2 ; z -3 ) .

Und die Ebenengleichung entsteht eben einfach durch die Bedingung:

Spatprodukt der 3 Vektoren ist 0.

In diesem Fall 7x - 5y + z = 0.