Wie löse ich das folgende Integral mit der Partialbruchzerlegung ∫ (x-1) / ((x^4)-(x^2)) dx?

Question

Wie berechne ich das folgende Integral??


∫ (x-1) / ((x^4)-(x^2)) dx


LG ALex

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Du kannst zunächst den Integranden teilerfremd machen, in dem du faktorisierst und kürzt.

Answer 1

Zunächst mal ist der Ausdruck zu vereinfachen

f(x) = (x - 1)/(x^4 - x^2)

= (x - 1)/(x^2·(x^2 - 1))

= (x - 1)/(x^2·(x + 1)·(x - 1))

= 1/(x^2·(x + 1))

Jetzt vermutet man eine Partialbruchzerlegung der Form

f(x) = 1/(x^2·(x + 1)) = a/x + b/x^2 + c/(x + 1)

Auf Hauptnenner bringen

1/(x^2·(x + 1)) = (a(x^2 + x) + b(x + 1) + cx^2) / (x^2·(x + 1))

1 = a(x^2 + x) + b(x + 1) + c*x^2

Nun kann ich hier mal für x einfach 3 Werte einsetzten.

1 = a(0^2 + 0) + b(0 + 1) + c*0^2
b = 1

1 = a((-1)^2 + (-1)) + b((-1) + 1) + c*(-1)^2
c = 1

1 = a(1^2 + 1) + b(1 + 1) + c*1^2
1 = 2·a + 2·b + c   | B = c = 1
1 = 2·a + 2·1 + 1
a = -1

Damit lautet die Partialbruchzerlegung

f(x) = 1/(x^2·(x + 1)) = -1/x + 1/x^2 + 1/(x + 1)

Das können wir leich Integrieren und die Stammfunktion lautet

F(x) = - LN(x) - 1/x + LN(x + 1)

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Hi, kleiner Optimierungsvorschlag bezüglich des Rechenaufwands:

1 = a(x² + x) + b(x + 1) + c*x²

Nullstellen einsetzen:
Mit x = 0 folgt b = 1 und mit x = −1 folgt c = 1. Dies würde
ich jetzt sofort nutzen, um die Gleichung zu vereinfachen:

1 = a(x^2 + x) + x + 1 + x^2

-(x + x^2) = a(x^2 + x)

-1 = a.

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Ich habe dort dort direkt die Nullstellen eingesetzt. Ach. Ich weiß was du meinst.
Ich habe das der Übersichtlichkeit halber noch nicht gleich eingesetzt damit der Fragesteller nicht gleich alle Sachen auf einmal sich merken muss.

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hey vielen Dank für die ausführliche Lösung :)

das hilft morgen in der Klausur :D

LG Alex

Answer 2

Hier ist noch die Sparversion der Partialbruchzerlegung des Integranden:

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Hier eine noch sparsamere Version: