Basen von R^3 erkennen

Question

folgende Frage:

Welche der Folgenden Mengen sind Basen von R³ ?

a) {(1,-1,2),(2,7,-2),(1,2,0)} = M₁
b) {(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)} = M₂

Meine Ergebnisse: ( bin bei a) aber nicht sicher ob es stimmt)

a) als erstes habe ich geschaut, ob (0,0,0) eine Linearkombination von  M₁  :

dazu habe ich folgende Gleichung gelöst:

a+2b+1c=0
-a+7b+2c=0
2a-2b+0c=0

Mein Ergebnis:    a= - 1/3c
                               b= - 3/9c

Mit der Lösung kann ich nicht viel Anfangen.. ich würde sagen, dass es keine Lösung gibt und M₁ ist linear Abhängig, somit keine Basis.

b)
Glecihe Schritte wie in a)

b+c=0
a+c=0
a+b=0

mein Ergebnis: a=0,  b=0,  c=0

M₂ ist eine Linearkombination von (0,0,0)

Dann habe ich M₂ auf invertierbarkeit überprüft.

Ergebnis: M₂ ist invertierbar und somit eine Basis von R³ und dim(R³)=3

überzeugt bin ich allerdings nicht so ganz ..

Answer 1

  a= - 1/3c
                               b= - 3/9c

Mit der Lösung kann ich nicht viel Anfangen.. ich würde sagen, dass es keine Lösung gibt und M₁ ist linear Abhängig, somit keine Basis.

Nein, es gibt viele Lösungen

etwa  a= -1/3   b= -1/3  und c=1 also linear Abhängig, somit keine Basis.

und bei dem anderen:

wenn a=b=c=0 einzige Lösung ist:  lin. unabh.