Beweis: 1/(ab) wird kleiner, je größer a und b werden.

Question

Ursprüngliche Aufgabe:
Gegeben sind reelle Zahlen a E (1;4) und b E (1/4;1/2). Beweisen Sie, dass 1/(a*b) in (1/2;4) liegt.

Logischerweise weiß ich, dass das größtmögliche Ergebnis von 1/(a*b) 4 ist, wenn man die beiden kleinsten a und b multipliziert und einsetzt. Und umgekehrt dass das kleinstmögliche Ergebnis 1/2 ist, nämlich dann, wenn man die beiden größten Werte von a und b hernimmt.

Um aber zu beweisen, dass das tatsächlich die größt- bzw. kleinstmöglichen Ergebnisse sind, müsste man doch beweisen, dass das Produkt a*b größer ist, je größer die Faktoren sind - das ist ja noch kein Problem. Doch dann müsste man ja auch beweisen, dass 1/(a*b) kleiner wird, je größer a*b wird. Und daran scheitert es bei mir gerade.

Lösungsansätze:
Ich habs schon mit Nullfolgen versucht. Ich wollte zeigen, dass 1/(ab) streng monoton fallend (also kleiner wird) ist und gegen 0 konvergiert, aber 1/ab ist ja gar keine Folge...
Es wäre sehr einfach, statt 1/(a*b) im Intervall (1/2;4) zu schreiben: a*b im Intervall (1/4;2). Ist ja eigentlich dasselbe, doch ich frage mich, ob diese Umstellung erlaubt ist und ob das nicht auch wiederum einen Beweis erfordern würde, dass das allgemein gültig ist.

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Comments

Ergänzung.: Das "E" soll "Element aus" heißen...

Answer 1

Zu zeigen:

1/ab wird kleiner, je größer a und b werden.
Ich würde es folgendermaßen beweisen:
Es gelte x>0 und y>0

Wenn a und b größer werden, ergibt sich als neuer Bruch

1/((a+x)(b+y))
Dieser Bruch soll kleiner sein als 1/ab, also muss gelten

1/ab - 1/((a+x)(b+y)) > 0

Alles auf einen Nenner gebracht:
(a+x)(b+y)/(ab)(a+x)(b+y) - ab/(ab)(a+x)(a+y) > 0

Alle Variablen sind positiv, deshalb kann man beide Seiten der Ungleichung mit (ab)(a+x)(a+y) multiplizieren:
(a+x)(b+y) - ab > 0

ab + ay + xb +xy - ab > 0

ay + xb + xy > 0

Das gilt, weil alle Variablen > 0 sind.

Comments

Hey Brucybabe,

dankeschön für deine schnelle und leicht verständliche Antwort! Super erklärt, ich kann alle Schritte nachvollziehen. Bloß ist mir nicht ersichtlich, wie die letzte Zeile (ay + xb + xy > 0), beweist, was zu beweisen ist (nämlich, dass 1/(ab) für wachsende a und/oder b kleiner wird), könntest du das nochmals ausführen?

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Rudi

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Hallo Rudi,

danke für das Lob :-)


Wenn man den Beweis von "unten nach oben" liest - ich denke, alle Schritte sind umkehrbar -,
dann wird letztendlich bewiesen, dass

1/ab - 1/((a+x)(b+y)) > 0

gilt, dass also

1/ab > 1/((a+x)(b+y)

Der rechte Nenner der Ungleichung ist größer als der linke Nenner, d.h. a*b ist größer geworden,
aber der Bruch 1/(a*b) kleiner, was ja zu beweisen war.
Ist das so nachvollziehbar?

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Hey Brucybabe,

während mir das Rückwärtslesen des Beweises nicht weitergeholfen hat, ist mir beim erneuten Durchlesen deines ersten Posts plötzlich ein Licht aufgegangen :-) Hatte zuerst nicht realisiert, dass ay+xb+xy>0 schon das Ende ist, dachte, da müsste noch was kommen, dabei ist ja schon ersichtlich, dass es eine wahre Aussage ist, weil, wie du eh sehr schön begründet hast, alle Werte >0 sind. Vielen lieben Dank nochmals.

Außerdem würdest du mir auch noch sehr helfen, wenn du mir sagen könntest, ob dieser Beweis tatsächlich die Lösung zur ursprünglichen Aufgabenstellung darstellt. Da ich nirgends Anhaltspunkte finden konnte, war das lediglich mein eigener erster Gedanke, dass man das so beweisen könnte. Vermutlich geht das Ganze jedoch viel einfacher, nicht? Ist eigentlich als ein "erster Beweis" gedacht, gleich über "Beweisen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist" und das ist ja im Vergleich zu dem hier echt ein Kinderspiel :D Hättest du einen anderen Lösungsansatz, eine andere Idee oder muss das tatsächlich auf diese Weise bewiesen werden?

Wo ich gerade dabei bin:
"Es wäre sehr einfach, statt 1/(a*b) im Intervall (1/2;4) zu schreiben: a*b im Intervall (1/4;2). Ist ja eigentlich dasselbe, doch ich frage mich, ob diese Umstellung erlaubt ist und ob das nicht auch wiederum einen Beweis erfordern würde, dass das allgemein gültig ist."Wäre diese Begründung mit dem Kehrwert zulässig?

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Btw habe ich gerade an der Umkehrung des von dir aufgeführten Beweises versucht:

Zu zeigen: 1/(ab) wird größer, je kleiner a*b ist.
Wenn ich also von a und b jeweils etwas abziehe (unter der Voraussetzung, dass x<a und y<b ist, damit wir weiterhin positive Zahlen haben), müsste der gesamte Bruch größer sein als der ursprüngliche, also muss gelten:

-1/(ab) + 1/((a-x)(b-y)) > 0

Auf gemeinsamen Nenner bringen:

-(a-x)(b-y)+ab>0

-(ab-xb-ay+xy)+ab > 0

ab fällt wieder weg, doch diesmal haben wir:
-xy+xb+ay > 0.

Und da a>x ist, ist auch ay>xy und damit muss die linke Seite der Gleichung auch >0 sein.

Passt das so?

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Puh, ich schreibe zu viel... Ich finde es total spannend, mit jemandem über Mathematik schreiben zu können :D

Liebe Grüße,

Rudi

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Hi Rudi,

so ein Dialog macht mir auch Spaß :-)

Deine Ausführungen nach meiner letzten Antwort sehe ich mir jetzt nochmal in Ruhe an - wenn ich etwas Vernünftiges dazu finde, lasse ich es Dich wissen - wird aber sicherlich noch eine Zeit dauern :-)


Liebe Grüße zurück

Andreas

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Der Beweis, dass, wenn a*b größer wird, 1/(a*b) kleiner wird, kann nicht schaden :-)

 

Zu Deiner ursprünglichen Aufgabe: 

a ∈ [1;4], b ∈ [1/4; 1/2]

Zu zeigen: 

1/(a*b) ∈ [1/2;4]

 

(a*b) ist maximal für a = 4 und b = 1/2

Dann ist (a*b) = 2 und 1/(a*b) = 1/2

 

(a*b) ist minimal für a = 1 und b = 1/4

Dann ist (a*b) = 1/4 und 1/(a*b) = 4

 

Für 1/4 < (a*b) < 2 gilt entsprechend 1/2 < 1/(a*b) < 4

Damit liegt 1/(a*b) immer im Intervall [1/2;4]

 

Die Verwendung des Kehrwertes 1/(a*b) ∈ [1/2;4] bzw. (a*b) ∈ [1/4;2] würde ich mir sparen - es ging doch so eigentlich auch recht einfach ...

 

Deine berechnete Umkehrung 1/(a*b) wird größer, je kleiner a*b ist, ist völlig korrekt!

 

Liebe Grüße

Andreas

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Lieber Andreas,

ok, dann war wohl meine Vorgehensweise doch vermutlich die einzig Richtige. Die Argumentation in deinem letzten Kommentar ist ja im Grunde nichts anderes, als das, was ich geschrieben hatte, bis auf dass ich zusätzlich zu der Aussage, dass (a*b) bei a=1 und b=1/4 minimal ist, ich noch den Beweis wollte, dass daraus folgt, dass 1/(ab) bei diesen Werten maximal ist. Und das wiederum erschien mir so "kompliziert" (ich frage mich bis jetzt noch, wie du auf die Idee gekommen bist, x und y abzuziehen :D), dass ich vorhin nicht daran glaubte, dass dies der einfachste Lösungsweg wäre. Ist denn der Beweis, dass 1/(ab) bei den Werten maximal ist, bei denen a*b minimal ist (und umgekehrt), überhaupt notwendig oder genügt der Beweis für das Maximum und Minimum von (a*b), wie du sie aufgeführt hast?

Danke für deine Zeit! :)

Liebe Grüße,

Rudi

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Lieber Rudi,
ich denke, dass der Beweis für Maximum und Minimum von (a*b) ausreichend ist -
beweisen kann ich es aber nicht :-))


Liebe Grüße

Andreas

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Lieber Andreas,


super, dankeschön :) Ich schätze deine Geduld, deine Hilfsbereitschaft und deine Fähigkeit der Erklärung dieses Beispiels sehr! Vor lauter Freude war ich auch ganz motiviert, mir ein Beispiel an dir zu nehmen und andere offene Fragen zu beantworten, doch die ersten zwei Seiten enthalten lediglich Themen, mit denen ich überhaupt nicht vertraut bin, sehr schade eigentlich...  Fange erst diesen Winter an, zu studieren... Setze deine tolle Arbeit fort, du bist vermutlich auch vielen anderen hier eine wirklich große Hilfe! :)


Liebe Grüße,

Rudi

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Vielen lieben Dank Rudi,
ich muss Dir sagen, dass ich mich auch bei weitem nicht an jede Aufgabe herantraue; es gibt hier viele Freiwillige, die ein wesentlich tieferes Verständnis und größere Kenntnisse der Mathematik haben als ich. Aber einige Fragen bleiben trotz allem unbeantwortet - nobody's perfect :-)


Viel Erfolg im Studium!


Vielleicht treffen wir uns wieder einmal auf dieser Plattform!


Liebe Grüße

Andreas