Frage zur Inversen Matrix

Question

ich habe eine Frage zur inversen Matrix. Ich möchte eine Nachricht mit dem Hill Verfahren entschlüsseln, dazu ist auf Wikipedia folgende Rechnung zu finden:

$$ \begin{pmatrix} 6 & 24 & 1 \\ 13 & 16 & 10 \\ 20 & 17 & 15 \end{pmatrix}^{ -1 }\equiv \begin{pmatrix} 8 & 5 & 10 \\ 21 & 8 & 21 \\ 21 & 12 & 8 \end{pmatrix}\quad (mod\quad 26) $$

Leider komme ich einfach nicht auf die Matrix von 8 5 10... (meine Inverse enthält sehr komische Werte (Brüche + Negative Werte)) Daher meine Frage, wie komme ich auf die rechte Matrix?

Answer 1

Berechne die Inverse über die Adjunkte und der Inversen von der Determinante.

Matrix

[6, 24, 1; 13, 16, 10; 20, 17, 15]

Adjunkte

[70, -343, 224; 5, 70, -47; -99, 378, -216]

Determinante

DET([6, 24, 1; 13, 16, 10; 20, 17, 15]) = 441

Inverse von 441 Modulo 26

441·x = 1 + 26·y --> x = -1 + 26·b ; y = -17 + 441·b also z.B. x = 25

25·[70, -343, 224; 5, 70, -47; -99, 378, -216] MOD 26 = [8, 5, 10; 21, 8, 21; 21, 12, 8]

Probe

[6, 24, 1; 13, 16, 10; 20, 17, 15]·[8, 5, 10; 21, 8, 21; 21, 12, 8] = [573, 234, 572; 650, 313, 546; 832, 416, 677]

[573, 234, 572; 650, 313, 546; 832, 416, 677] MOD 26 = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]