Funktionsschar fα(x)=x^3 + αx^2 - x + α^2 Nullstellen Beweis

Question

Zeigen Sie dass f_α für alle α ∈ (-α₀ , α₀) stets drei einfache Nullstellen besitzt falls α₀ > 0 hinreichend kein ist.

Das ist die Aufgabenstellung...rechne daran schon seit drei Stunden und komme einfach nicht weiter.

Wie kann ich das obige zeigen? Vielen Dank schon einmal im Voraus

Answer 1

$$f_a(x)= x³ + a x² - x + a $$
$$f'_a(x)= 3x^2 + 2a x -1 $$
---
$$0= f'_a(x) $$
$$ 0 = 3x^2 + 2a x -1 $$
$$1- 3x^2 = 2a x  $$
$$\frac{1- 3x^2}{2x} = a   $$
---
$$0= x³ + \frac{1- 3x^2}{2x} \cdot x² - x + \frac{1- 3x^2}{2x} $$
$$0=2  x^4 + (1- 3x^2) \cdot x² - 2x^2 + (1- 3x^2)$$
$$0=2 x^4 + x²- 3x^4  - 2x^2 + 1- 3x^2$$
$$0=- x^4   - 4x^2 + 1$$
$$ x^4   + 4x^2 = 1$$
$$ x^4   + 4x^2 +(2^2)= 1+(2^2)$$
$$ (x^2+2)^2= 5$$
$$ x^2+2= \pm \sqrt5$$
$$ x^2= -2\pm \sqrt5$$
$$ x= \pm\sqrt{-2\pm \sqrt5}$$
$$x_{1,2}=\pm 0,48586827175664567818286387589453$$
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$$1- 3x^2 = 2a x  $$
$$1- 3(\pm\sqrt{-2+ \sqrt5})^2 = 2a (\pm\sqrt{-2+ \sqrt5})  $$
$$1- 3(-2+ \sqrt5) = 2a (\pm\sqrt{-2+ \sqrt5})  $$
$$7- 3\sqrt5 = 2a (\pm\sqrt{-2+ \sqrt5})  $$
$$\pm \frac{7- 3\sqrt5}{ 2\sqrt{-2+ \sqrt5}  } =  a  $$
$$a_{1,2}=\pm 0,30028310600077760788669470994843 $$

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... + a^2