Wo ist die Reihe konvergent bzw. bedingt konvergent?

Question

Für welche Werte von x konvergiert die Reihe a) absolut und b) bedingt ?

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 4^n \cdot x^{2n}}{ n }}\\\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { x^{n}}{ \sqrt { n^2+3 } }} $$

a) habe ich bereits gelöst -1/2<1/2 bei der ersten Reihe und -1<x<1 bei der zweiten Reihe ( hier habe ich konvergent für alle x heraus, da der letzte Term gegen null geht, warum ist das falsch?)

b) hier wird als Lösung angegeben für 1. x= -1/2 und für 2. x= -1 angegeben

Nach Umformungen mithilfe des Quotientenkrit. kam ich auf folgende terme:

$$ 1.\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 4^n \cdot x^{2n}}{ n }}\\\lim_{n\to\infty}|\frac { 4x^2 }{ 1+1/n }|\\2.\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { x^{n}}{ \sqrt { n^2+3 } }}\\ $$
$$ \lim_{n\to\infty}|\frac { x\sqrt { n+3} }{ \sqrt { (n+1)^2+3 } }| $$

Wie kommen sie auf die Lösungen für b)?

Answer 1

bei der ersten Reihe kann die untere Grenze nicht 0 sein, weil der Bruch für 0 nicht definiert ist. Deshalb gehe ich davon aus, dass die untere Grenze 1 ist.

2n=k

a_k=2*2^k/k

Berechnung mit Cauchy Hadamard:

r=1/lim sup k -->∞ |a_k|^{1/k}=1/lim k--> ∞ 2^{1/k}*2/k^{1/k}=1/[1*2/1]=1/2

Test der äußeren Grenzen:

x=±1/2

a_n=4^n/n*(±1/2)^{2n}=1/n --> Keine (absolute) Konvergenz

b)

a_n=1/√[n^2+3]

Quotientenkriterium:

r=lim n--> ∞|a_n/a_n+1|=lim n-->∞√[(n+1)^2+3]/√[n^2+3]=1

Test der äußeren Grenzen:

x=-1

a_n=(-1)^n/√[n^2+3] --> konvergiert nach Leibnitz Kriterium, aber nicht absolut, siehe zweiten Fall x=1

x=1: 1/√[n^2+3]>=1/(2*n) --> keine Konvergenz