Rotationskörper, berechne Seitenlänge a

Question

Wenn ich mir das Dreieck als Rotationskörper vorstelle, so habe ich doch einen Zylinder, mit Kegelpyramide oben und unten.

Ich habe nur das Volumen, wo kann ich den weiter rechnen?

Comments

" Wenn ich mir das Dreieck als Rotationskörper vorstelle, so habe ich doch einen Zylinder, mit herausgeschnittenem Kegel oben und unten. " Richtig. Mache für dieses Volumen eine Formel und löse sie später nach a auf. 

Das Dreieck ist ein halbes Quadrat.

Via Pythagoras kommst du auf die Höhe des Zylinders h = √2 * a und

auf den Radius des Zylinders r = √2 * a / 2 

usw. Bis zur Volumenformel. 

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https://www.mathelounge.de/368316/rotationskorper-berechne-seitenlange-a

Da ich meine letzte Frage weder editieren noch irgendwem antworten kann, geht es hier weiter.

V=Vz-2*Vk

100cm³ = π* ((a/2)*√2`)²*√2´*a - 2*((1/3)π*((a/2)*√2´)²*(a/2)*√2´)
Ich hoffe, dass passt so.
Roland hat geschrieben
Dies vom Zylinder volumen subtrahiert ergibt 2π/3( a√2/2)²·a√2/2= 100

Wie komme ich den von meiner Gleichung zu der von Rolands?
Kann mir wer die Schritte der Umformung und Zusammenfassung einzeln und nachvollziehbar auflisten?

Wenn ich das von Roland umstelle und ausrechne, bekomme ich für a=1,344 cm raus.
Das stimmt nicht mit meiner Lösung überein :(

Answer 1

Sei M = Mittelpunkt von Strecke AB

Länge von AB = √(a² + a²) = a·√2

Länge von MC =√[ a² - (1/2 a·√2 )² ]  =  √[ a²/2 ] = a/2 ·√2

Das Volumen des Rotationskörpers ergibt sch aus einem Zylinder (V_z = π r_z² * h_z ) mit r_z =  a/2 ·√2 und h_z = a·√2 vermindert um das Volumen zweier Kegel (V_k = 1/3 π r_k² · h_k  mit r_k = h_k = a/2 ·√2.

Gruß Wolfgang 

Answer 2

Der Zylinder hat den Radius a√2/2 und die Höhe a√2, also das Volumen π( a√2/2)²·a√2. Ein Kegel hat auch den Radius a√2/2 und eben diese Höhe, also das Volumen π/3( a√2/2)²·a√2/2. Da es zwei solcher Kegel sind, ist ihr Gesamtvolumwen π/3( a√2/2)²·a√2. Dies vom Zylinder volumen subtrhiert ergibt 2π/3( a√2/2)²·a√2/2= 100. nach a auflösen und runden.

Answer 3

Das Dreieck ist ein halbes Quadrat.

Via Pythagoras kommst du auf die Höhe des Zylinders h = √2 * a und

auf den Radius des Zylinders r = √2 * a / 2 

usw. Bis zur Volumenformel. 

V = π r^2 * h - 2 * (πr^2*h/2 ) / 3= πr^2 ( h - (2h/2)/3) = πr^2 ( h - h/3) 

= πr^2 (3h - h)/3

= πr^2 *2h/3 

Nun h und r einsetzen

V = π * 2a^2 / 4  * 2*√2*a / 3

= π √2 a^3 / 3 

100 = π √2 a^3 / 3

300/(π√2)  = a^3

a  ≈4.072103  [ Einheit cm ] 

Nun darfst du noch Rechenfehler allfällige suchen.