Extrema von f(x,y)=(siny)^2 + x^3 - 1

Question

Ich soll die Extremstellen bzw. Sattelpunkte der Funktion

f(x,y) = sin²y + x³ - 1

finden und habe jetzt als kritische Punkte (0, k*pi), (0, pi/2 + k*pi), (0, 0) ausgerechnet und hänge gerade bei der Art fest.

Ich habe gelernt, dass dies über die 2. Ableitung geht, also der Hesse-Matrix und dessen Hauptminoren bzw. der Determinante. Jedoch ist diese bei allen 3 Punkten 0 und es kann keine Aussage getroffen werden...

Wie finde ich heraus, ob die Punkte Min oder Max sind?

Comments

edit:

kritische Punkte (0, k*pi) und (0, pi/2 + k*pi), k∈ℤ

[Punkt (0,0) ist ja gerade der Punkt mit k=0...]

Answer 1

Hier mal keine Hilfestellungen:

Wenn du allein die Funktion x^3 betrachtest. Was hat die Funktion dann für x = 0 für eine besondere Stelle?

Und wenn du alleine die Funktion sin^2(y) betrachtest was hat die für stellen für y1 = k * pi und für y2 = k * pi + pi/2?

Was passiert wenn du jetzt die Funktionen summarisch einfach addierst?

Hier noch eine Skizze als kleine Hilfe

Comments

x³ hat in x=0 einen Sattelpunkt und sin²y hat in y₁=k*pi ihre Nullstellen und in y₂=pi/2 + k*pi ein Maximum für k gerade und Minimum für k ungerade..

Und daraus folgt

Sattelpunkt + Nullstelle -> Sattelpunkt

Sattelpunkt + Max/Min -> Sattelpunkt

?

Ist der Sattelpunkt immer das "stärkere Kriterium"?

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Ja. wenn wir in eine Richtung ein Sattelpunkt haben und in der Senkrechten dazu einen Hoch oder Tiefpunkt setzt sich der Sattelpunkt durch.

Achte aber darauf das du für sin^2(x) nur die Hochpunkte und Tiefpunkte ausgerechnet hast. Das hat nichts mit Nullstellen zu tun.

 y₁ = k*pi sind Tiefpunkte und y₂ = + k*pi + pi/2 sind Hochpunkte.