Bestimme alle Paare (a,b)∈ℝ^2, sodass f auf dem ganzen reellen Bereich stetig ist.

Question

Könnte mir jemand bei folgender Aufgabe helfen.

Es sei f: ℝ--> ℝ die funktion definiert durch

x --> { sin(x)   x∈] -∞, π/2 [

         ax + b,  x∈ [π/2, ∞[

Bestimmen Sie alle Paare  (a,b)∈ℝ^2 so dass f auf ganz ℝ stetig ist.

Ich wollte Gleichungen aufstellen um diese Aufgabe zu lösen wie z.b. π/2 à + b = sin (π/2)

Aber ich komme nicht weiter..

Danke

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EDIT: Die Frage muss korrekt heissen:

"Bestimmen Sie alle Paare  (a,b)∈ℝ^2 so dass f auf ganz ℝ stetig ist."

Habe "hoch 2" bei R ergänzt und aus "für" ein f gemacht. Kontrolliere das bei der vorgegebenen Aufgabe. Wenn du Fragen exakter liest, kannst du auch besser vorauswissen, wie das Resultat aussehen könnte.

Hier z.B. die von Wolfgang bestimmte Lösungsmenge:

" L = { (a|b) ∈ ℝ² |  b = 1 - a·π/2 } "

Answer 1

Hallo Samira,

du musst nur noch die Stetigkeit in an der Nahtstelle x = π/2 sicherstellen.

Dort ist der linksseitige Grenzwert  =  sin(π/2) = 1

 und der rechtsseitige Grenzwert (= Funktionswert)  = a·π/2 + b.

Beide müssen gleich sein:

1 = a·π/2 + b.    ⇔   b = 1 - a·π/2

Jetzt  kannst du ein beliebiges a wählen und b passend ausrechnen. Für jedes dieser unendlich vielen Paare (a|b) ist die Funktion stetig.

L = { (a|b) ∈ ℝ² |  b = 1 - a·π/2 }

z.B.  (0|1) , (1| 1-π/2) , (2|1-π) , ( -1| 1+π/2)  , (1/2 | 1 -1/4 ·π) ∈ L

Gruß Wolfgang

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Warum darf ich jetzt b und a beliebig  wählen, haben beide keinen festen wert?

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Du darfst nur a (oder b)  beliebig wählen. b (oder a)  musst du dann passend ausrechnen:

b = 1 - a·π/2   

Richtig: a und b haben keinen festen Wert. Das liegt daran, dass mit einer Gleichung keine zwei Variablen eindeutig festgelegt sind.