Reihe (-1)^k / ln(2k+1)

Question

ich verstehe nicht warum die reihe als konvergent dargestellt wird.

Mir ist klar dass die Folge eine Nullfolge ist, aber das reicht ja nicht aus, um Konvergenz nachzuweisen.

Das Leibniz kriterium besagt doch lediglich dass eine alternierende Reihe konvergiert wenn ihre dazugehörige positive reihe konvergiert.

Ich sehe aber in der Lösung nicht wo das gezeigt wird...

Answer 1

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

Es muss gezeigt werden, dass ak=1/ln(2k+1) eine monotone Nullfolge ist. Da ln(2k+1) monoton wachsend ist und gegen unendlich strebt, ist ak monoton fallend und strebt gegen 0.

Damit konvergiert die Reihe.

Answer 2

"Das Leibniz kriterium besagt doch lediglich dass eine alternierende Reihe konvergiert wenn ihre dazugehörige positive reihe konvergiert. "

Das ist so verkehrt wie du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium nachlesen kannst

Comments

Hallo Mathecoach. Heißt monoton fallend nicht einfach nur dass die Folgeglieder kleiner werden?

Wäre das nicht analog zu dem Trivialkriterium...bei dem überprüft wird ob die Folge gegen Null konvergiert?

Ich würde das gerne verstehen.

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Die obige Aussage bezüglich der positiven reihe habe ich aus einem Buch,.

Wahrscheinlich ist es eine andere Methode als das Leibnizkriterium

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Nimm doch zum Beispiel die Reihe

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Konvergiert diese Reihe ?

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...

Konvergiert diese Reihe ?

Beide Antworten bitte bei Nennung einer Regel / eines Kriteriums.

Und ja. Das was du gefunden hast ist nicht das Leibnizkriterium.

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Die harmonische Reihe ist eine p-reihe. Diese divergiert für p <=1

und diesem Fall ist p = 1.

Und für die zweite Folge, könnte ich sagen sie konvergiert.,

es ist eine monoton fallende nullfolge.....

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Das erste ist die divergente harmonische Reihe. Völlig richtig.

Die zweite Reihe ist nicht monoton fallend sondern eine alternierende Reihe. Und weil die Folgeglieder dieser Reihe ohne Beachtung des Vorzeichens eine monoton fallende Nullfolge bilden darf man hier das Leibnitzkriterium anwenden.

Deine Regel würde nicht gehen, weil die zugehörige positive Reihe ja nicht konvergiert.