Approximation: neue Grenze gesucht, die 99% der werte beinhaltet

Question

In einem Flugzeug sind 400 Sitzplätze. Es werden im Schnitt nur 80% der Buchungen wahrgenommen. Damit es zu keinen leeren Plätzen kommt, wird um 20% überbucht. (also max. 480 buchungen)

Wie viele Buchungen dürfen maximal angenommen werden, wenn das Risiko mindestens um einen Passagier zu überbuchen bei maximal 99% liegen darf?

Mir fehlt sogar ein Ansatz... Ich habe ja 2 Wahrscheinlichkeiten. Was mache ich mit den 80%, was mit den 99%? Ich weiß nur, dass ich approximieren darf und es kein symmetrisches Intervall sondern eine einfache Grenze ist...

Comments

Steht das so in der Aufgabe ?

"wenn das Risiko mindestens um einen Passagier zu überbuchen bei maximal 99% liegen darf?"

Das bedeutet die WK für keine Überbuchung muss mind. 1% sein?

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ganz genau... steht so in de rAngabe

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Wenn um einen Passagier überbucht wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass überbucht wurde 100%. Oder bedeutet "überbucht" etwas anderes als "überbucht"?

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Okay, etwas weniger missverständlich: Wie viele Buchungen dürfen maximal angenommen werden, wenn das Risiko, mindestens einen Passagier beim Check-In abweisen zu müssen (weil nicht ausreichend Sitzplätze im Flugzeug sind) bei maximal 99% liegen darf?

also, ich denke P(X≤c) = 0,99

c= 320+2,34*8

daraus ergibt sich nichts sinnvolles

Answer 1

Sei X die Zufallsgröße der Anzahl Personen, die tatsächlich auftauchen.

Dann ist X binomialverteilt mit Länge n und Erfolgswahrscheinlichkeit 0,8

Gesucht ist das größte n, so dass P(X≤400) ≤ 0,99 ist. Es muss also die Ungleichung \( \sum_{i=0}^{400}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}\cdot 0,8^i \cdot (1-0,8)^{n-i} \leq 0.99 \) gelöst werden.

Analytisch wird das schwer, aber mit den Sigmaregeln kommt man zu

    μ - 2,58σ = 400

mit μ = 0,8n und σ = √(0,2·0,8·n), also

    0,8n - 2,58·√(0,2·0,8·n) = 400.

Lösung dieser Gleichung ist ca. 529, was schon nah an dem tatsächlichen Ergbnis dran ist.