wie rechne ich die Extrema aus?

Question

F(x)=x³ - x⁴ + x³                 
EDIT(Lu): Zitat aus einem Kommentar von Cc:

" Danke aber es wurde falsch übernommen die ganze Zeit.

Die 1. Ableitung Funktion lautet: 6x⁵-4x³+3x²

Dann setze ich die gleich null und klammere x²  aus und dann weiß ich nicht weiter "

Comments

" F(x)=x³ - x⁴ + x^{3         "}

Hast du wirklich zwei mal x^3 und ein "grosses" F ? 

Zur Kontrolle mal der zugehörige Graph:

~plot~ x^3 - x^4 + x^3 ~plot~ 

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ÖUps nein. Das letzte x hat nur eine Hoch zwei

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Meinst du vielleicht \(F(x)=x^6-x^4+x^3\) ?

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Ne

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Warum soll dann die erste Ableitung \(6x^5-4x^3+3x^2\) lauten?

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Beachte: Cc muss nicht unbedingt der Fragesteller sein.

@Cc. Wenn du die Frage selbst gestellt hast, solltest du einen Button sehen "das habe ich geschrieben". Dann ist die Diskussion weniger verwirrend.

Fragesteller: Lies mal in Ruhe alles durch, was du in den vorhandenen Links findest. So kommst du mit allen "Polynomdiskussionen" selbst klar.

Answer 1

Ableitung bilden (Extrema habe eine markante Steigung)

Ableitung gleich Null setzen und Gleichung lösen (die Steigung an Extrempunkten ist Null).

Hinreichendes Kriterium für Extrempunkte anwenden (es könnte sich auch um einen Sattelpunkt handeln).

Comments

Die Struktur kenne ich. Nur weiß ich nichh weiter wie ich mit der 1.Ableitung rechnen soll

Answer 2

f(x) = x³ - x⁴ + x³

1. Ableitung bilden

f'(x) = 3x² - 4x³ + 3x²     |                3x² + 3x² = 6x²

f'(x) = 6x² - 4x³               | ausklammern            x(6x - 4x²)                     x₁=0

  (6x - 4x²) umstellen damit man  es in die PQ Formel oder in den Taschenrechner eingeben kann   zu 

  - 4x² + 6x   + 0 = 0   | :        -4

x² -1,5x  + 0 = 0

ergibt dann die

      x₁=0   x₂=3/2

f(0) = 0³ -0⁴ + 0³ = 0                                         Extrempunkt₁ (0|0 )

f(3/2) =3/2³ -3/2⁴ + 3/2³ = 1,6875                  Extrempunkt₂ (3/2|1,6875 )

Dann zweite Ableitung bilden um zu prüfen ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt:

 
f''(x) = 12x - 12x²  
f''(3/2) = 12·(3/2) - 12·(3/2)²  = -9        weil -9∠0 (kleiner als 0) liegt an der Stelle E₂(3/2|1,6875 ) ein Hochpunkt vor.

       

Comments

Und weil:

f''(0) = 12 ·0 - 12·0²  = 0  gibt es einen Wendepunkt

f''(x) = 12x - 12x²  |  x(12 - 12x  )                               x₁=0

12 - 12x = 0 | + 12    | :12

x₂= 1

Dann wieder X₁ und X₂ einsetzen in f(x)

f(1) = 1³ - 1⁴ + 1³   = 1

f(0) = 0³ - 0⁴ + 0³   = 0

Es liegen also die Wendestellen  W(1|1) und W₁(0|0) vor, weil ja der Punkt (0|0) eine Wendestelle ist, gibt es nur eine Extremmstelle mit dem Hochpunkt H(3/2|1,6875 ) , einen Tiefpunkt gibt es hier nicht.

Answer 3

F(x)=x³ - x⁴ + x^2

F '(x) = 3x^2 - 4x^3 + 2x          

3x^2 - 4x^3 + 2x           = 0       | x ausklammern:

x(3x - 4x^2 + 2)          = 0 

Comments

Danke aber es wurde falsch übernommen die ganze Zeit.

Die 1. Ableitung Funktion lautet: 6x⁵-4x³+3x²

Dann setze ich die gleich null und klammere x²  aus und dann weiß ich nicht weiter

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Du kannst alle Extremstellen und Wendepunkte hier http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/

überprüfen.

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1. Ableitung der Funktion lautet: 6x⁵-4x³+3x² ? 

f ' (x) = 6x⁵-4x³+3x²

=>   x^2 ( 6x^3 - 4x + 3) = 0

x1 = x2 = 0. ==> x=0 ist ein Terrassenpunkt .

Nun  6x^3 - 4x + 3 = 0 noch lösen. (z.B. mit einem Näherungsverfahren: Kannst du hier lernen: https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren ) 

Ich schätze mal mit dem Plotter:

~plot~ 6x^3 - 4x + 3 ; x=-13/12 ~plot~ 

Genauer: https://www.wolframalpha.com/input/?i=6x%5E3+-+4x+%2B+3

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 Danke, nur sollen wir das nicht mit einem nährerungsverfahren machen bzw. wir haben das im Unterricht noch nicht durchgenommen

Answer 4

Hallo

Die Struktur kenne ich. Nur weiß ich nichh weiter wie ich mit der 1.Ableitung rechnen soll

y = x^3 -x^4 +x^2

y '= 3x^2 -4x^3 +2x =0 ------->x ausklammern

y '=x( 3x -4x^2 +2)

Satz vom Nullprodukt

x_1=0

--->-4x^2 +3x +2 ------>z-B PQ- Formel

Answer 5

nachdem das jetzt wohl geklärt ist:

f '(x) = 6x⁵-4x³+3x² = x² · (6x³ - 4x + 3) = 0

x₁ = 0  ist eine doppelte Nullstelle 

6x³ - 4x + 3 = 0

Diese Gleichung kann "von Hand" man nur aufwändig explizit lösen.

Meist wendet man ein Näherungsverfahren an, z. B. das

Newtonverfahren:

Beachte:  ab  hier  f(x) = 6x³ - 4x + 3  ,  f '(x) = 18x² - 4 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du  hier

Kann man z.B. mit Excel (aber auch mit normalem TR) machen:

x	f(x)	f '(x)
0	3	-4
0,75	2,53125	6,125
0,336734694	1,882155819	-1,958975427
1,297520518	10,91663585	26,30407089
0,882503546	3,593814619	10,01862516
0,523790193	1,767069644	0,938410997
-1,359254282	-6,630905436	29,25629965
-1,132605474	-1,186983023	19,09031287
-1,070428231	-0,077373677	16,62469876
-1,065774091	-0,000416753	16,44573943
-1,06574875	-1,23193E-08	16,44476715
-1,065748749	0	16,44476713

Lösung: x ≈ -1,065748749

Gruß Wolfgang

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Danke, nur sollen wir das nicht mit einem nährerungsverfahren machen bzw. wir haben das im Unterricht noch nicht durchgenommen