Implizite Form und Umkehrfunktion ln(1+2ye^x)-2x = 0

Question

Aufgabe: Wandeln Sie die implizite gegebene Funktion in die explizite Form um und berechnen Sie die Umkehrfunktion:
ln(1+2ye^x)-2x = 0
Explizite Form: y = (e^{2x}-1)/(2e^x) oder y = sinh(x)
Die Umkehrfunktion wäre daher natürlich einfach y = arcsinh(x), jedoch müsste ich das auch selber berechnen, woran es gerade scheitert.
Also wie geht man am besten vor, um die Umkehrfunktion von  y = (e^{2x}-1)/(2e^x) zu berechnen?

Answer 1

Löse die Gleichung nach x auf.

Answer 2

ich gehe mal von der impliziten Gleichung aus.

LN(1+2y*e^x)=2x

1+2y*e^x=e^{2x}

setze e^x=t

1+2yt=t^2

t^2-2yt-1=0

(t-y)^2-y^2-1=0

(t-y)^2=y^2+1

|t-y|=√y^2+1

(t-y)=±√y^2+1

t=y±√y^2+1

x=LN(y±√y^2+1)

Das Minuszeichen fällt weg, weil ansonsten der Definitionsbereich nicht ganz |R wäre.

Comments

Zu folgenden Schritt habe ich noch eine Frage:

a. t²-2yt-1=0

b. (t-y)²-y²-1=0

Ist das einfach Übungssache, oder woher sieht man, dass man sich hier die zweite binom. Formel "zusammen bauen kann"?

Du hast bei a. ja anscheinend mit +y^2-y^2 ergänzt, um dann auf b. zu kommen.

---

Das kann man bei jeder quadratischen Gleichung so machen, es handelt sich um quadratische Ergänzung.

Alternativ kannst du auch die pq Formel nutzen um die Gleichung zu lösen, da kommt das Gleiche heraus.

Answer 3

Explizite Form: Zwischenschritt e^2x= 1+2ye^x Ergebnis: y=(e^x-e^-x)/2

Eine Umkehrfunktion kann es nicht geben, weil man im Zwischenschritt für z = e^x eine quadratische Gleichung erhält.