Aufgabe zur Teilbarkeit

Question

Sei k eine beliebige ganze Zahl. Zeigen Sie, da von den durch 13 teilbaren ganzen Zahlen aus dem Intervall (k + 1000; k + 2000) mindestens eine durch 57 teilbar ist. 3

Answer 1

Der Abstand der durch 13 und 57 teilbaren Zahlen ist kleiner als die (von k unabhängige) Intervallbreite.

Answer 2

In den folgenden Überlegungen habe ich die Teilbarkeit durch 13 nicht bedacht, die Überlegungen sind also falsch (wie ich gerade merke): Tausend aufeinanderfolgende Zahlen heißen n+1, n+2, n+3, ..., n+1000. r sei der Rest von n beim Teilen durch 57. Also gibt es eine natürliche Zahl m, sodass 57·m+r = n mit 0≤r<57. Außerdem gibt es zwischen 0 und 1000 mindestens eine Zahl j, sodass r+j durch 57 teilbar ist. In den tausend aufeinanderfolgenden Zahlen 57·m+r+1, 57·m+r+2, 57·m+r+3, ..., 57·m+r+j, ..., 57·m+r+1000 ist die Zahl 57·m+r+j durch 57 teilbar.