Integral berechnen: oben 2 unten 1. Bruchterm

Question

Berechnen Sie: ƒ₁² (1-x²)/(x²+1)²dx

Answer 1

∫ (1 bis 2) (1 - x^2)/(x^2 + 1)^2 dx

Partialbruchzerlegung

∫ (1 bis 2) (2/(x^2 + 1)^2 - 1/(x^2 + 1)) dx

Der zweite Summand ist ein Grundintegral. Den ersten solltest du vermutlich mit der partiellen Integration zunächst umformen.

Sag bescheid, wenn du nicht mehr weiter weisst.

Comments

hier findest du einen Online-Rechner, der auch den Lösungsweg angibt:

Integralrechner

Answer 2

Ansatz PBZ:

(1-x^2)/( x^2+1)^2) = (Ax+B)/(x^2+1) + (Cx+D)/((x^2+1)^2) |*Hauptnenner

1 -x^2= (Ax+B)(x^2+1) +(Cx+D)

1 -x^2= A x^3+Ax +Bx^2 +B+Cx+D

1 -x^2= A x^3+Bx^2 + (A+C)x +B+D

Koeffizientenvergleich:

x^3 : 0 = A

x^2: -1 = B

x^1: 0=A+C

x^0: 1=B+D

------------>C=0 ; D= 2

----------->

=∫ (-1)/(x^2+1) dx +∫ 2/(x^2+2)^2 dx

= - ∫ 1/(x^2+1) dx + 2 ∫1/(x^2+2)^2 dx

= -arctan(x)+ 2 ∫1/(x^2+2)^2 dx

Substituiere beim 2.Integral : x= tan(z)

Lösung: = x/(x^2+1) +C

zum Schluß noch die Grenzen einsetzen

Answer 3

hier findest du einen Online-Rechner, der auch den Lösungsweg angibt:

Integralrechner  

(auch für spätere fälle Brauchbar :-) )

Gruß Wolfgang