DGL y' = 1/2 y^3 sin(x)

Question

Wie kann ich in einer Anfangswertaufgabe alle y0∈R bestimmen, für welche die Anfangswertaufgabe eine Lösung auf ganz R besitzt. Mir geht es hier um die Vorgehensweise, da mir die Fragestellung nicht so ganz klar ist. Und die Aufgabe kann man schließlich auf verschiedene Anfangswertaufgaben beziehen.

Comments

Hast du eine konkrete Frage mit der du Probleme hast. Dann solltest du die ggf. hier zur Verfügung stellen.

Es ist einfacher bei einer konkreten Frage zu helfen anstatt dir jetzt die ganze Theorie zu Anfangswertaufgaben nochmals beizubringen. Die Theorie solltest du am besten in einem Buch nachlesen.

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Ja, es geht um folgendes:

y'=1/2*y^3*sin(x) mit y(0)=0

Die Lösung ist

√(1/cos(x)-1/c)=y(x)

Darauf bezieht sich die Frage.

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Also für diese Aufgabe ist obiges eine weitere Teilaufgabe, die mir nicht klar ist

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Hast du eine Idee was ich hier noch machen muss?

Answer 1

Lösung durch Trennung der Variablen:

y'=1/2*y³*sin(x) mit y(0)=0

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y'=1/2*y³*sin(x)

dy/dx = 1/2*y³*sin(x) | *2 *dx

2dy= y^3 sin(x) dx |:y^3

2dy/y^3 =  sin(x) dx

 -1/y^2 = - cos(x) +C

y= ± 1/√(cos(x) - C )

--------------->Das ist die allgemeine Lösung der DGL ohne Anfangsbedingung

Stimmt die AWB y(0)= 0 ?

Durch Einsetzen der AWB in die Lösung erhältst Du die spezielle Lösung

Comments

Das heißt wenn ich alle y0∈R bestimmen soll muss ich nur die eine Bedingung einsetzen und schauen, ob sie stimmt. Ich dachte, ich müsste noch mehr y finden. Hier nochmal die konkrete Aufgabe:

 Bestimmen Sie sämtliche  y0 ∈ R, für welche die Anfangswertaufgabe eine auf ganz R erklärte Lösung besitzt. 

Das heißt hier würde die Anfangsbedingung stimmen und ich wäre fertig?

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Ich vermute, die AWB lautet y(0)=y₀

_{Dann paßt das auch zur Aufgabe. Die AWB setzt Du in die allg. Lösung ein.}

_{Die negative Lösung entfällt aber dann wegen} y(0)=y_{0 , weil das ist positiv.}

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Okay, danke! Und ich dachte schon, ich müsste noch spezielle Werte rausfinden:) Danke für deine Erklärung!

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wie genau kommt man denn auf 0? Einfach durch raten?